スピン $S=2$ 系の非軸対称結晶場における永年方程式と固有値の積

問題文

スピン量子数 $S=2$S=2 の量子力学的な系において、非軸対称な結晶場中に置かれたスピンのハミルトニアン $\mathcal{H}$H は、次のように与えられる。

$$\mathcal{H} = D \hat{S}_z^2 + E (\hat{S}_x^2 - \hat{S}_y^2)$$H=DS^z2​+E(S^x2​−S^y2​)

ここで、$\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z$S^x​,S^y​,S^z​ はスピン $S=2$S=2 に対する角運動量演算子（プランク定数 $\hbar = 1$ℏ=1 の単位系を採用する）であり、$D, E$D,E は正の定数である。 このハミルトニアンを、$\hat{S}_z$S^z​ の固有状態 $|m\rangle \ (m = 2, 1, 0, -1, -2)$∣m⟩ (m=2,1,0,−1,−2) を基底とする $5 \times 5$5×5 のエルミート行列として表現する。

この系のエネルギー固有値を決定する方程式（永年方程式）は、単位行列を $I$I として

$$\det(\lambda I - \mathcal{H}) = 0$$det(λI−H)=0

で与えられ、重複を含めて5つの固有値 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_5$λ1​,λ2​,λ3​,λ4​,λ5​ を持つ。

定数 $D, E$D,E が制約で与えられる値をとるとき、これら5つの固有値の総乗 $\prod_{i=1}^5 \lambda_i$∏i=15​λi​ を求めよ。

制約

• 軸対称分裂パラメータ: $D = 1$D=1
• 非軸対称（斜方晶）分裂パラメータ: $E = 4$E=4
• $D, E$D,E および固有値 $\lambda$λ は無次元化された値として扱う。

入力形式

固有値の総乗 $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 \lambda_5$λ1​λ2​λ3​λ4​λ5​ の値を自然数で回答せよ。