電磁誘導とLC共振の結合における磁気エネルギーの変遷

問題文

水平面上に、間隔 $d$d で平行に固定された十分に長い2本の金属レールがある。手前側のレールをP、奥側のレールをQとする。 レールPの左端には電気容量 $C$C のコンデンサーの一方の極板が接続されており、もう一方の極板からスイッチ、自己インダクタンス $L$L のコイルを経て、レールQの左端へと直列に導線で接続されている。 質量 $m$m の金属棒が、2本のレールに垂直に渡されるように置かれている。金属棒はレールと電気的に接触を保ちながら、摩擦なく滑らかに動くことができる。 系全体には、鉛直下向きに磁束密度 $B$B の一様な磁場が印加されている。金属棒、レール、導線、コイルの電気抵抗はすべて無視できるものとする。

はじめ、金属棒は静止しており、スイッチを開いた状態でコンデンサーに $Q_0$Q0​ の電荷を蓄えさせた。このとき、レールP側に接続された極板が正に帯電していた。 時刻 $t=0$t=0 にスイッチを静かに閉じると、コンデンサーの放電に伴って金属棒にアンペール力が働き、金属棒はレール上を動き始めた。

その後の運動において、コイルに蓄えられる磁気エネルギーは時間とともに変動する。 運動の過程でコイルに蓄えられる磁気エネルギーの最大値を $U_{\max}$Umax​ とする。$U_{\max}$Umax​ をミリジュール (${\rm mJ}$mJ) 単位で表した数値を求めよ。

制約

• 金属棒の質量 $m = 0.070~{\rm kg}$m=0.070 kg
• レール間隔 $d = 0.50~{\rm m}$d=0.50 m
• 磁束密度 $B = 2.0~{\rm T}$B=2.0 T
• コンデンサーの電気容量 $C = 0.040~{\rm F}$C=0.040 F
• コイルの自己インダクタンス $L = 0.15~{\rm H}$L=0.15 H
• 初期の電荷 $Q_0 = 0.22~{\rm C}$Q0​=0.22 C

入力形式

$U_{\max}$Umax​ の値を自然数で回答せよ。