GSO002 問題18

「固有多項式（永年方程式）の性質」と、量子力学における「角運動量演算子の行列表現と対称性」を融合させた物理数学の問題です。

5次方程式の解をすべて直接求めることも可能ですが、行列のブロック対角化と行列式の性質（解と係数の関係）を用いることで、極めてエレガントに計算を完遂することができます。

1. 角運動量演算子の昇降演算子による表現

まず、$\hat{S}_x, \hat{S}_y$S^x​,S^y​ を昇降演算子 $\hat{S}_+, \hat{S}_-$S^+​,S^−​ で表現します。

$$\hat{S}_x = \frac{1}{2}(\hat{S}_+ + \hat{S}_-), \quad \hat{S}_y = \frac{1}{2i}(\hat{S}_+ - \hat{S}_-)$$S^x​=21​(S^+​+S^−​),S^y​=2i1​(S^+​−S^−​)

問題のハミルトニアンに含まれる $\hat{S}_x^2 - \hat{S}_y^2$S^x2​−S^y2​ を計算します。

$$\hat{S}_x^2 - \hat{S}_y^2 = \frac{1}{4}(\hat{S}_+ + \hat{S}_-)^2 - \frac{1}{-4}(\hat{S}_+ - \hat{S}_-)^2$$S^x2​−S^y2​=41​(S^+​+S^−​)2−−41​(S^+​−S^−​)2

展開して整理すると、クロス項が消去され以下の美しい形になります。

$$\hat{S}_x^2 - \hat{S}_y^2 = \frac{1}{2} (\hat{S}_+^2 + \hat{S}_-^2)$$S^x2​−S^y2​=21​(S^+2​+S^−2​)

昇降演算子が基底 $|m\rangle$∣m⟩ に作用したときの結果は、以下の公式で与えられます。

$$\hat{S}_\pm |m\rangle = \sqrt{S(S+1) - m(m \pm 1)} |m \pm 1\rangle$$S^±​∣m⟩=S(S+1)−m(m±1)​∣m±1⟩

2. ハミルトニアンの行列要素の計算

$S=2$S=2 の場合、$S(S+1) = 6$S(S+1)=6 です。各 $m$m について $\hat{S}_+^2$S^+2​ の作用を計算します。

• $\hat{S}_+ |-2\rangle = \sqrt{6 - (-2)(-1)} |-1\rangle = 2 |-1\rangle$S^+​∣−2⟩=6−(−2)(−1)​∣−1⟩=2∣−1⟩ $\hat{S}_+^2 |-2\rangle = \hat{S}_+ (2 |-1\rangle) = 2 \sqrt{6 - (-1)(0)} |0\rangle = 2\sqrt{6} |0\rangle$S^+2​∣−2⟩=S^+​(2∣−1⟩)=26−(−1)(0)​∣0⟩=26​∣0⟩
• $\hat{S}_+ |-1\rangle = \sqrt{6} |0\rangle$S^+​∣−1⟩=6​∣0⟩ $\hat{S}_+^2 |-1\rangle = \sqrt{6} \sqrt{6 - 0(1)} |1\rangle = 6 |1\rangle$S^+2​∣−1⟩=6​6−0(1)​∣1⟩=6∣1⟩
• $\hat{S}_+ |0\rangle = \sqrt{6} |1\rangle$S^+​∣0⟩=6​∣1⟩ $\hat{S}_+^2 |0\rangle = \sqrt{6} \sqrt{6 - 1(2)} |2\rangle = 2\sqrt{6} |2\rangle$S^+2​∣0⟩=6​6−1(2)​∣2⟩=26​∣2⟩

$\hat{S}_-^2$S^−2​ はこのエルミート共役（作用を逆戻りさせる）になります。 対角成分は $D \hat{S}_z^2$DS^z2​ によるものであり、$m^2 D$m2D となります。 したがって、基底を $(|2\rangle, |1\rangle, |0\rangle, |-1\rangle, |-2\rangle)^T$(∣2⟩,∣1⟩,∣0⟩,∣−1⟩,∣−2⟩)T の順に並べたとき、ハミルトニアン $\mathcal{H}$H の行列表現は次のようになります。

$$\mathcal{H} = \begin{pmatrix} 4D & 0 & \sqrt{6}E & 0 & 0 \\ 0 & D & 0 & 3E & 0 \\ \sqrt{6}E & 0 & 0 & 0 & \sqrt{6}E \\ 0 & 3E & 0 & D & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{6}E & 0 & 4D \end{pmatrix}$$H=​4D06​E00​0D03E0​6​E0006​E​03E0D0​006​E04D​​

3. ブロック対角化と対称性の利用

行列を見ると、偶数の $m$m $(2, 0, -2)$(2,0,−2) の状態と、奇数の $m$m $(1, -1)$(1,−1) の状態は完全に分離（非結合）していることがわかります。行と列を入れ替えてブロック対角化します。

【部分空間1：奇数 $m$m のブロック $H_1$H1​】 基底 $(|1\rangle, |-1\rangle)^T$(∣1⟩,∣−1⟩)T での小行列は以下の通りです。

$$H_1 = \begin{pmatrix} D & 3E \\ 3E & D \end{pmatrix}$$H1​=(D3E​3ED​)

【部分空間2：偶数 $m$m のブロック $H_2$H2​】 基底 $(|2\rangle, |0\rangle, |-2\rangle)^T$(∣2⟩,∣0⟩,∣−2⟩)T での小行列は以下の通りです。

$$H_2 = \begin{pmatrix} 4D & \sqrt{6}E & 0 \\ \sqrt{6}E & 0 & \sqrt{6}E \\ 0 & \sqrt{6}E & 4D \end{pmatrix}$$H2​=​4D6​E0​6​E06​E​06​E4D​​

4. 固有値の積（行列式への帰着）

永年方程式 $\det(\lambda I - \mathcal{H}) = 0$det(λI−H)=0 の5つの解 $\lambda_1, \dots, \lambda_5$λ1​,…,λ5​ の積は、代数学における「解と係数の関係」より、定数項（$\lambda=0$λ=0 のときの値の $(-1)^5$(−1)5 倍）すなわち 行列式 $\det(\mathcal{H})$det(H) に等しい ことが知られています。

$$\prod_{i=1}^5 \lambda_i = \det(\mathcal{H}) = \det(H_1) \times \det(H_2)$$i=1∏5​λi​=det(H)=det(H1​)×det(H2​)

固有値を個別に求める必要はなく、行列式の計算に持ち込むのが最速かつスマートです。

$H_1$H1​ の行列式：

$$\det(H_1) = D \cdot D - (3E)(3E) = D^2 - 9E^2$$det(H1​)=D⋅D−(3E)(3E)=D2−9E2

$H_2$H2​ の行列式（余因子展開）：

$$\det(H_2) = 4D(0 - 6E^2) - \sqrt{6}E(\sqrt{6}E \cdot 4D - 0) + 0 = -24DE^2 - 24DE^2 = -48DE^2$$det(H2​)=4D(0−6E2)−6​E(6​E⋅4D−0)+0=−24DE2−24DE2=−48DE2

よって、求める固有値の総乗は次のように求まります。

$$\prod_{i=1}^5 \lambda_i = (D^2 - 9E^2)(-48DE^2) = 48DE^2(9E^2 - D^2)$$i=1∏5​λi​=(D2−9E2)(−48DE2)=48DE2(9E2−D2)

5. 数値の代入

制約より $D = 1, E = 4$D=1,E=4 を代入します。

$$\prod_{i=1}^5 \lambda_i = 48 \cdot 1 \cdot 4^2 \cdot (9 \cdot 4^2 - 1^2)$$i=1∏5​λi​=48⋅1⋅42⋅(9⋅42−12) $$= 48 \cdot 16 \cdot (144 - 1)$$=48⋅16⋅(144−1) $$= 768 \cdot 143$$=768⋅143 $$= 109824$$=109824

（※参考：実際に5つの固有値を計算すると、対称性を利用して $16, 13, 4, -11, -12$16,13,4,−11,−12 と全て整数になるように $D, E$D,E が設定されています。これら5つの積を計算しても $109824$109824 となります。）

答えは $109824$109824 となります。