非線形な静電気力に抗する可動極板の最大変位とエネルギー保存則

問題文

なめらかで水平な絶縁体の床の上に、面積 $S$S の薄い金属板からなる極板Aと極板Bが、互いに平行に鉛直に立てられている。 極板Aは床に固定されている。 極板Bは質量 $m$m であり、床に水平に置かれたばね定数 $k$k の絶縁体の軽いばねの一端に取り付けられている。ばねのもう一端は壁に固定されており、極板Bは極板Aと平行を保ったまま、ばねの軸に沿って水平方向にのみ摩擦なく滑らかに移動できる。 ばねが自然長のとき、極板Aと極板Bの距離は $d_0$d0​ である。 極板間の空間の誘電率を $\varepsilon$ε とし、極板の端における電場の乱れ（エッジエフェクト）は無視できるものとする。 極板Aと極板Bは、スイッチと起電力 $V$V の理想的な直流電源と直列に接続されている。回路の電気抵抗および自己インダクタンスは極めて小さく無視できるものとし、極板の運動に伴う電磁波の放射やジュール熱の発生はないものとする。

初期状態として、極板Bをばねの自然長の位置（極板間距離 $d_0$d0​）で手で保持し、スイッチを閉じて十分に時間が経過した。 その後、スイッチを閉じたまま静かに極板Bから手を離すと、極板Bは極板Aからの静電気力（引力）に引かれて運動を始めた。 極板Bが極板Aに最も近づいたときの極板間距離を $d_{min}$dmin​ とする。 $d_{min}$dmin​ の値を求めよ。

制約

• 初期極板間距離: $d_0 = 1.7 \times 10^{-2} \text{ m}$d0​=1.7×10−2 m
• ばね定数: $k = 1.0 \times 10^1 \text{ N/m}$k=1.0×101 N/m
• 誘電率: $\varepsilon = 8.5 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ε=8.5×10−12 F/m
• 極板の面積: $S = 2.0 \text{ m}^2$S=2.0 m2
• 直流電源の起電力: $V = 4.0 \times 10^2 \text{ V}$V=4.0×102 V
• 極板Bの質量: $m = 5.0 \times 10^{-1} \text{ kg}$m=5.0×10−1 kg

入力形式

極板間距離の最小値 $d_{min}$dmin​ をミリメートル ($\text{mm}$mm) 単位で求め、その数値を自然数で回答せよ。