弦の初期変位とフーリエ級数展開に基づく力学的エネルギーの分配

問題文

ギターなどの弦楽器において、弦を特定の場所ではじく（ピックする）行為は、弦に特定の初期変位を与え、無数の固有振動（モード）を励起させることを意味する。本問題では、この現象を1次元波動方程式とフーリエ級数展開を用いて厳密に解析する。

水平方向に $x$x 軸をとる。線密度 $\rho$ρ、張力 $T$T のしなやかで均一な弦が、 $x=0$x=0 および $x=L$x=L の位置で固定されている。弦の変位を $y(x,t)$y(x,t) とし、微小振動の範囲内で1次元波動方程式 $\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ρ∂t2∂2y​=T∂x2∂2y​ に従うものとする。空気抵抗や内部摩擦による減衰は無視する。

時刻 $t=0$t=0 において、弦上の点 $x = \frac{L}{3}$x=3L​ を弦に対して垂直に距離 $h$h だけ引っ張り、静かに手を放した（初速度は至る所でゼロである）。このとき、弦の初期状態の形状は $x=0$x=0 と $x=\frac{L}{3}$x=3L​ を結ぶ線分、および $x=\frac{L}{3}$x=3L​ と $x=L$x=L を結ぶ線分からなる三角形となる。

この弦の振動 $y(x,t)$y(x,t) は、無数の固有振動の重ね合わせ（フーリエ正弦級数）として以下のように表現できる。

$$y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} y_n(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos(\omega_n t)$$y(x,t)=n=1∑∞​yn​(x,t)=n=1∑∞​An​sin(Lnπx​)cos(ωn​t)

ここで、$y_n(x,t)$yn​(x,t) は第 $n$n 高調波（基本振動を $n=1$n=1 とする）の変位、$\omega_n$ωn​ はその角振動数、$A_n$An​ は各モードの振幅を決定するフーリエ係数である。

第 $n$n 高調波単独が持つ力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）を $E_n$En​ と定義する。 指定された制約のもとで、基本振動（$n=1$n=1）が持つ力学的エネルギー $E_1$E1​ を計算せよ。

制約

• $L = 0.90 \text{ [m]}$L=0.90 [m]
• $\rho = 5.0 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}$ρ=5.0×10−3 [kg/m]
• $T = 160 \text{ [N]}$T=160 [N]
• $h = 0.03 \text{ [m]}$h=0.03 [m]

入力形式

計算された基本振動のエネルギー $E_1 \text{ [J]}$E1​ [J] は、以下の形式で表される。

$$E_1 = \frac{A}{B \pi^C}$$E1​=BπCA​

ここで、$A$A と $B$B は互いに素な自然数、$C$C は自然数である。 最終的な解答として、$A + B + C$A+B+C の値を自然数で入力せよ。