剛体の自由回転とジャニベコフ効果の反転周期

剛体の自由回転とジャニベコフ効果の反転周期

問題文

国際宇宙ステーションのような無重力・真空空間において、T字型のレンチなどの非対称な剛体を回転させると、特定の軸周りの回転が不安定になり、定期的に表裏を反転する現象が観察される。これは「ジャニベコフ効果（Dzhanibekov effect）」または「テニスラケットの定理」として知られている。

剛体の重心を原点とし、主慣性軸に沿って剛体に固定された直交座標系 $O-123$O−123 をとる。主慣性モーメントをそれぞれ $I_1, I_2, I_3$I1​,I2​,I3​ とし、$I_1 > I_2 > I_3 > 0$I1​>I2​>I3​>0 であるとする。重心は固定されており、外力によるトルクは一切働かないものとする。

時刻 $t=0$t=0 において、この剛体は中間軸（主軸2）の周りに角速度 $\omega_0 > 0$ω0​>0 で回転しており、さらに主軸3の周りに微小な角速度 $\epsilon$ϵ （$0 < \epsilon \ll \omega_0$0<ϵ≪ω0​）が与えられていたとする。主軸1の周りの初期角速度は $0$0 である。 各主軸周りの角速度を $\omega_1(t), \omega_2(t), \omega_3(t)$ω1​(t),ω2​(t),ω3​(t) とする。 $\omega_2(t)$ω2​(t) は最初 $\omega_0$ω0​ から減少し、やがて符号を変えて $-\omega_0$−ω0​ に達し、再び $\omega_0$ω0​ に戻るという周期的な振る舞い（フリップ）を示す。

時刻 $t=0$t=0 から、初めて $\omega_2(t)$ω2​(t) が $-\omega_0$−ω0​ に達するまでの時間 $T$T を求めたい。 微小量 $\epsilon$ϵ の高次項を適切に近似し、第一種完全楕円積分の漸近公式を用いて $T$T を求めよ。 なお、第一種完全楕円積分 $K(m) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-m \sin^2\phi}}$K(m)=∫0π/2​1−msin2ϕ​dϕ​ は、$m \to 1-0$m→1−0 のとき、

$$K(m) \approx \frac{1}{2} \ln\left(\frac{16}{1-m}\right)$$K(m)≈21​ln(1−m16​)

と近似できる。

制約

• $I_1 = 5 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$I1​=5 kg⋅m2
• $I_2 = 4 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$I2​=4 kg⋅m2
• $I_3 = 2 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$I3​=2 kg⋅m2
• $\omega_0 = 10 \text{ rad/s}$ω0​=10 rad/s
• $\epsilon = 1.0 \times 10^{-4} \text{ rad/s}$ϵ=1.0×10−4 rad/s

入力形式

反転時間 $T \text{ [s]}$T [s] は、与えられた定数を用いて計算すると

$$T = \frac{\sqrt{A}}{B} \ln \left( \frac{C}{D} \times 10^10 \right)$$T=BA​​ln(DC​×1010)

の形で表される。 ただし、$A$A は平方因子を持たない自然数、$B$B は自然数、分数 $C/D$C/D は互いに素な自然数からなる既約分数である。 自然数 $A + B + C + D$A+B+C+D の値を回答せよ。