極性ナノ微粒子の光ピンセット操作：完全導体球による鏡像双極子との相互作用

問題文

真空中に、半径 $a$a の完全に接地された導体球が置かれており、その中心を座標系の原点 $O(0, 0, 0)$O(0,0,0) とする。 この導体球から距離 $r_0$r0​ （ただし $r_0 > a$r0​>a）離れた $z$z 軸上の点 $A(0, 0, r_0)$A(0,0,r0​) に、大きさが無視できる極性ナノ微粒子が固定されている。この微粒子は、大きさ $p$p の永久電気双極子モーメント（以下、単に「双極子」と呼ぶ）を持つ。

初期状態において、双極子の向きは原点 $O$O の方向（$-z$−z 方向）を向いている。 ここで、微粒子の重心位置を点 $A$A に保ったまま、外部からの操作（光ピンセット等のマニピュレータを想定）によって双極子を準静的に回転させ、最終的に双極子の向きを $x$x 軸の正の方向と平行になるようにした。

この回転操作の間に、外部の力が微粒子に対して行った仕事 $W$W を求めよ。 ただし、双極子自身の空間的な広がりは $r_0 - a$r0​−a に比べて十分に小さく、理想的な点双極子として扱えるものとする。また、クーロンの法則の比例定数を $k$k とし、重力やその他の相互作用はすべて無視する。

制約

• クーロンの法則の比例定数: $k = 9.0 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$k=9.0×109 N⋅m2/C2
• 導体球の半径: $a = 1.0 \times 10^{-8} \text{ m}$a=1.0×10−8 m
• 微粒子の位置: $r_0 = 2.0 \times 10^{-8} \text{ m}$r0​=2.0×10−8 m
• 双極子モーメントの大きさ: $p = 3.0 \times 10^{-25} \text{ C}\cdot\text{m}$p=3.0×10−25 C⋅m

入力形式

求める仕事 $W \text{ [J]}$W [J] は、$W = X \times 10^{-18}$W=X×10−18 の形で表される。 自然数 $X$X の値を回答せよ。