自転車の空気入れにおける熱力学第一法則（バルブ開放前の圧縮過程）

問題文

あるサイクリストが、シリンダー型の空気入れを用いて自転車のタイヤに空気を入れようとしている。ここでは、ピストンを押し込み始めてから、タイヤのバルブが開いて空気が注入され始める直前までの、シリンダー内部が密閉されている（閉鎖系とみなせる）圧縮過程を考える。

シリンダー内部の空気を一つの熱力学系とみなし、これを定積モル比熱が $C_V = \frac{5}{2}R$CV​=25​R （$R$R は気体定数）の理想気体として扱う。

初期状態において、シリンダー内の空気の圧力は $P_1$P1​、体積は $V_1$V1​ であった。 サイクリストがピストンを押し込んだ結果、空気は圧縮され、バルブが開く直前の状態において圧力は $P_2$P2​、体積は $V_2$V2​ となった。

この圧縮過程において、サイクリスト（外部）がシリンダー内の空気に対して行った仕事（外部からされた仕事）を $W_{in}$Win​ とする。また、圧縮に伴う温度上昇により、空気はシリンダーの壁面を通して外部へ熱量 $Q_{out}$Qout​ を放出した。

この過程において、空気が外部へ放出した熱量 $Q_{out}$Qout​ [\mathrm{J}] を求めよ。

【座標系および符号の定義】

• $P_1, V_1, P_2, V_2, W_{in}, Q_{out}$P1​,V1​,P2​,V2​,Win​,Qout​ はすべて正の値とする。
• 気体が外部から吸収した熱量を $Q$Q、気体が外部に対してした仕事を $W$W、内部エネルギーの変化量を $\Delta U$ΔU としたとき、熱力学第一法則は $Q = \Delta U + W$Q=ΔU+W と表される。

制約

• 初期状態の圧力：$P_1 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$P1​=1.0×105 Pa
• 初期状態の体積：$V_1 = 2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$V1​=2.5×10−3 m3
• 最終状態（バルブ開放直前）の圧力：$P_2 = 3.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$P2​=3.0×105 Pa
• 最終状態（バルブ開放直前）の体積：$V_2 = 1.48 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$V2​=1.48×10−3 m3
• 外部から気体に対してされた仕事：$W_{in} = 562\ \mathrm{J}$Win​=562 J

入力形式

空気が外部へ放出した熱量 $Q_{out}$Qout​ [\mathrm{J}] の値を自然数で回答せよ。