重心系における2次元調和振動：特殊引力下でのパックの軌跡

問題文

無限に広がるなめらかな水平面（$xy$xy平面）上に、質点とみなせるパックAとパックBがある。 2つのパックの間には、質量が無視できる特殊な引力発生機構が取り付けられている。パック間の距離を $r$r としたとき、この機構は常に互いを結ぶ線分上で大きさ $Kr$Kr （$K$K は正の定数）の引力を両者に及ぼし合う。これは、自然長が $0$0 の特殊なばねで結ばれている状態と力学的に等価である。

時刻 $t=0$t=0 において、パックAは原点 $(0, 0)$(0,0) にあり、パックBは $y$y軸上の点 $(0, d)$(0,d) にある。 同時に、パックAに初速度 $\vec{v}_A(0) = (v_{Ax}, v_{Ay})$vA​(0)=(vAx​,vAy​) を、パックBに初速度 $\vec{v}_B(0) = (v_{Bx}, v_{By})$vB​(0)=(vBx​,vBy​) を与えた。

その後、2つのパックは互いに引き合いながら、重心の並進運動と、重心周りの相対運動を組み合わせた複雑な軌跡を描いて運動する。 時刻 $t > 0$t>0 において、パックAとパックBの距離が初めて最大になる瞬間を $t = t_1$t=t1​ とする。 この時刻 $t_1$t1​ における、水平面に固定された静止座標系から見たパックBの運動エネルギー $E_K$EK​ を求めよ。

制約

各変数の値は以下の通りとする。

• パックAの質量: $m_A = 12 \text{ kg}$mA​=12 kg
• パックBの質量: $m_B = 4 \text{ kg}$mB​=4 kg
• 引力の比例定数: $K = 75 \text{ N/m}$K=75 N/m
• 時刻 $t=0$t=0 でのパックBの $y$y座標: $d = 6 \text{ m}$d=6 m
• 時刻 $t=0$t=0 でのパックAの速度: $\vec{v}_A(0) = (5, 0) \text{ m/s}$vA​(0)=(5,0) m/s
• 時刻 $t=0$t=0 でのパックBの速度: $\vec{v}_B(0) = (-20, 10) \text{ m/s}$vB​(0)=(−20,10) m/s

入力形式

求める運動エネルギー $E_K$EK​ [$\text{J}$J] は既約分数 $\frac{A}{B}$BA​ （$A, B$A,B は互いに素な自然数）で表される。$A+B$A+B の値を自然数で回答せよ。