内包物を持つ氷の融解と液面変動

問題文

断面積 $S_0$S0​ の円柱形の水槽に、密度 $\rho_w$ρw​ の水が十分に入っている。 この水に、1つの大きな氷の塊が浮かんでいる。 氷の塊は、質量 $M$M の純粋な氷（密度 $\rho_i$ρi​）を主体とし、その内部に以下の3つの異物を完全に内包している。

1. 質量 $m_1$m1​、密度 $\rho_1$ρ1​ の金属塊（$\rho_1 > \rho_w$ρ1​>ρw​）
2. 質量 $m_2$m2​、密度 $\rho_2$ρ2​ の油（$\rho_2 < \rho_w$ρ2​<ρw​）
3. 体積 $V_a$Va​ の空気

このとき、氷の塊は水槽の壁や底に触れることなく、完全に水面に静止して浮かんでいた。このときの水面の高さを $h_{init}$hinit​ とする。

その後、周囲の熱を吸収して十分に時間が経過し、氷が完全に融解した。 融解後、金属塊は水槽の底に沈み、油は水の上に分離して一様な厚さの層を形成し、空気はすべて大気中に逃げた。系が再び静止したときの、最上面の液面（油の上面）の高さを $h_{final}$hfinal​ とする。

液面の高さの変動量 $\Delta h = h_{init} - h_{final}$Δh=hinit​−hfinal​ を求めよ。 なお、水の蒸発や温度変化による各物質の密度の変化、および油の水への溶解は無視できるものとする。また、空気の質量は極めて小さいため無視してよい。重力加速度の大きさを $g$g とする。

制約

• $S_0 = 1.2 \times 10^{-2} \ \mathrm{m^2}$S0​=1.2×10−2 m2
• $M = 3.0 \ \mathrm{kg}$M=3.0 kg
• $\rho_i = 9.2 \times 10^2 \ \mathrm{kg/m^3}$ρi​=9.2×102 kg/m3
• $\rho_w = 1.0 \times 10^3 \ \mathrm{kg/m^3}$ρw​=1.0×103 kg/m3
• $m_1 = 2.7 \times 10^{-1} \ \mathrm{kg}$m1​=2.7×10−1 kg
• $\rho_1 = 7.5 \times 10^3 \ \mathrm{kg/m^3}$ρ1​=7.5×103 kg/m3
• $m_2 = 1.7 \times 10^{-1} \ \mathrm{kg}$m2​=1.7×10−1 kg
• $\rho_2 = 8.5 \times 10^2 \ \mathrm{kg/m^3}$ρ2​=8.5×102 kg/m3
• $V_a = 8.0 \times 10^{-4} \ \mathrm{m^3}$Va​=8.0×10−4 m3

入力形式

得られた $\Delta h$Δh の単位を $\mathrm{m}$m としたときの数値を $10^5$105 倍した値を求めよ。 （答えは自然数となる）