浮力と弾性支持が織りなす干渉縞のシフト

問題文

水平で平坦な上面を持つガラス板Bが固定されている。その上に、長さ $L$L の一様な直方体であるガラス板Aが置かれている。 ガラス板Aの左端（位置 $x=0$x=0）はガラス板Bの上面と接しており、この接合部は滑らかに回転できる蝶番のように振る舞い、ガラス板Aは鉛直面内で微小な角度だけ傾くことができる。 ガラス板Aの右端（位置 $x=L$x=L）の下面とガラス板Bの上面の間には、自然長 $l_0$l0​、ばね定数が未知の微小な円柱状の弾性スペーサーが挟まれており、ガラス板Aを支えている。 スペーサーの変形はフックの法則に従い、その質量や体積は無視できる。 ガラス板Aの質量を $M$M、密度を $\rho$ρ とし、重力加速度の大きさを $g$g とする。 ガラス板Aとガラス板Bの間には、非常に小さな角度のくさび形の隙間が形成されている。

【実験1】 装置全体を空気中に置いた。波長 $\lambda$λ の単色光を装置の真上から鉛直下向きに照射したところ、ガラス板Aの下面とガラス板Bの上面で反射した光の干渉によって明暗の縞模様が観察された。 このとき、隣り合う明線の間隔を測定すると $\Delta x_1$Δx1​ であった。 なお、空気の屈折率は $1$1 とし、空気の密度および浮力は無視できるものとする。

【実験2】 この装置全体を、密度 $\rho_0$ρ0​、屈折率 $n$n の透明な未知の液体中に完全に沈め、くさび形の隙間もその液体で満たした。 十分に時間が経過し、ガラス板Aが静止した状態で、実験1と同様に波長 $\lambda$λ の単色光を真上から照射したところ、隣り合う明線の間隔は $\Delta x_2$Δx2​ であった。 ただし、ガラス板Aおよびガラス板Bの屈折率は液体の屈折率 $n$n よりも大きいとする。また、液体の浸入によってスペーサーのばね定数は変化しない。

上記の結果から、液体の屈折率 $n$n を求めよ。

制約

計算には以下の数値を用いること。

• ガラス板Aの質量 $M = 0.40 \mathrm{\ kg}$M=0.40 kg
• ガラス板Aの密度 $\rho = 2.0 \times 10^3 \mathrm{\ kg/m^3}$ρ=2.0×103 kg/m3
• ガラス板Aの長さ $L = 0.20 \mathrm{\ m}$L=0.20 m
• 弾性スペーサーの自然長 $l_0 = 1.0 \times 10^{-4} \mathrm{\ m}$l0​=1.0×10−4 m
• 重力加速度の大きさ $g = 10 \mathrm{\ m/s^2}$g=10 m/s2
• 単色光の波長 $\lambda = 6.0 \times 10^{-7} \mathrm{\ m}$λ=6.0×10−7 m
• 液体の密度 $\rho_0 = 1.0 \times 10^3 \mathrm{\ kg/m^3}$ρ0​=1.0×103 kg/m3
• 空気中での明線の間隔 $\Delta x_1 = 0.75 \times 10^{-3} \mathrm{\ m}$Δx1​=0.75×10−3 m
• 液体中での明線の間隔 $\Delta x_2 = 0.50 \times 10^{-3} \mathrm{\ m}$Δx2​=0.50×10−3 m

入力形式

液体の屈折率 $n$n は既約分数 $\frac{A}{B}$BA​ （$A, B$A,B は互いに素な自然数）として表される。 $100A + B$100A+B の値を計算し、自然数で回答せよ。