GSO002 問題10

1. 初期状態の考察（氷が浮かんでいる状態）

まずは氷が融解する前の、初期の液面高さ $h_{init}$hinit​ を求めるための立式を行います。 水槽にもともと入っていた水の体積を $V_0$V0​ とします。 水に浮かんでいる物体の質量は、氷と内包物の合計になります。空気の質量は無視できるため、浮かんでいる全体の質量 $M_{total}$Mtotal​ は以下の通りです。

$$M_{total} = M + m_1 + m_2$$Mtotal​=M+m1​+m2​

アルキメデスの原理より、水面に浮かんで静止している物体が受ける浮力は、物体にはたらく重力と釣り合います。物体が水面下にある部分の体積（排除体積）を $V_{sub}$Vsub​ とすると、力の釣り合いの式は以下のようになります。

$$\rho_w V_{sub} g = M_{total} g$$ρw​Vsub​g=Mtotal​g

これを $V_{sub}$Vsub​ について解くと、

$$V_{sub} = \frac{M + m_1 + m_2}{\rho_w}$$Vsub​=ρw​M+m1​+m2​​

水槽は断面積 $S_0$S0​ の円柱形であるため、初期の液面以下の全体の体積 $V_{init}$Vinit​ は、もともとの水の体積 $V_0$V0​ に排除体積 $V_{sub}$Vsub​ を加えたものになります。したがって、初期の液面の高さ $h_{init}$hinit​ は次のように表されます。

$$h_{init} = \frac{V_{init}}{S_0} = \frac{1}{S_0} \left( V_0 + \frac{M}{\rho_w} + \frac{m_1}{\rho_w} + \frac{m_2}{\rho_w} \right)$$hinit​=S0​Vinit​​=S0​1​(V0​+ρw​M​+ρw​m1​​+ρw​m2​​)

2. 融解後の状態の考察

次に、氷が完全に融解した後の状態を考えます。 各物質が系全体の体積（底面から油の上面まで）にどのように寄与するかを個別に評価します。

• 氷から変化した水: 質量 $M$M の氷は融解すると質量 $M$M の水になります。水の密度は $\rho_w$ρw​ なので、その体積は $\frac{M}{\rho_w}$ρw​M​ となります。
• 金属塊: 密度が水より大きいため底に沈みます。沈んだ物体は自身の体積と同じだけの水を押し上げるため、系全体の体積に対する寄与は金属の体積 $V_1 = \frac{m_1}{\rho_1}$V1​=ρ1​m1​​ となります。
• 油: 密度が水より小さいため、水面に浮いて一様な層を作ります。水槽はまっすぐな円柱であるため、油の層が上に乗ることで、油の体積 $V_2 = \frac{m_2}{\rho_2}$V2​=ρ2​m2​​ がそのまま全体の体積（最上面までの高さ）に加算されます。
• 空気: 大気中に逃げるため、液面下の体積には一切寄与しなくなります。

したがって、融解後の系全体の体積 $V_{final}$Vfinal​（もともとの水＋氷からできた水＋沈んだ金属＋浮いた油）は、単純な体積の和として次のように表されます。

$$V_{final} = V_0 + \frac{M}{\rho_w} + \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$$Vfinal​=V0​+ρw​M​+ρ1​m1​​+ρ2​m2​​

これにより、最上面の液面（油の上面）の高さ $h_{final}$hfinal​ は以下のようになります。

$$h_{final} = \frac{V_{final}}{S_0} = \frac{1}{S_0} \left( V_0 + \frac{M}{\rho_w} + \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} \right)$$hfinal​=S0​Vfinal​​=S0​1​(V0​+ρw​M​+ρ1​m1​​+ρ2​m2​​)

3. 液面の変動量 $\Delta h$Δh の計算

液面の高さの変動量 $\Delta h = h_{init} - h_{final}$Δh=hinit​−hfinal​ を計算します。

$$\Delta h = \frac{1}{S_0} \left( V_{init} - V_{final} \right)$$Δh=S0​1​(Vinit​−Vfinal​)

ここで、体積の変動量 $\Delta V = V_{init} - V_{final}$ΔV=Vinit​−Vfinal​ を計算します。$V_0$V0​ と氷の質量に関する項 $\frac{M}{\rho_w}$ρw​M​ が見事に相殺されることに注目してください（これが「水に浮かぶ純粋な氷が溶けても液面は変わらない」理由です）。

$$\Delta V = \left( V_0 + \frac{M}{\rho_w} + \frac{m_1}{\rho_w} + \frac{m_2}{\rho_w} \right) - \left( V_0 + \frac{M}{\rho_w} + \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} \right)$$ΔV=(V0​+ρw​M​+ρw​m1​​+ρw​m2​​)−(V0​+ρw​M​+ρ1​m1​​+ρ2​m2​​) $$\Delta V = m_1 \left( \frac{1}{\rho_w} - \frac{1}{\rho_1} \right) + m_2 \left( \frac{1}{\rho_w} - \frac{1}{\rho_2} \right)$$ΔV=m1​(ρw​1​−ρ1​1​)+m2​(ρw​1​−ρ2​1​)

この式から、液面変動に関与するのは「異物の質量」と「水との密度の差」のみであり、空気の体積 $V_a$Va​ や氷の質量 $M$M は計算結果に影響を与えないダミー変数であったことがわかります。

4. 数値の代入

与えられた制約の数値を代入して $\Delta V$ΔV を求めます。

[金属塊に関する項]

$$m_1 \left( \frac{1}{\rho_w} - \frac{1}{\rho_1} \right) = 0.27 \times \left( \frac{1}{1000} - \frac{1}{7500} \right)$$m1​(ρw​1​−ρ1​1​)=0.27×(10001​−75001​)

通分して計算します。

$$\frac{1}{1000} - \frac{1}{7500} = \frac{7.5 - 1}{7500} = \frac{6.5}{7500} = \frac{13}{15000}$$10001​−75001​=75007.5−1​=75006.5​=1500013​ $$0.27 \times \frac{13}{15000} = \frac{3.51}{15000} = 0.000234 \ \mathrm{m^3}$$0.27×1500013​=150003.51​=0.000234 m3

[油に関する項]

$$m_2 \left( \frac{1}{\rho_w} - \frac{1}{\rho_2} \right) = 0.17 \times \left( \frac{1}{1000} - \frac{1}{850} \right)$$m2​(ρw​1​−ρ2​1​)=0.17×(10001​−8501​)

通分して計算します。

$$\frac{1}{1000} - \frac{1}{850} = \frac{0.85 - 1}{850} = \frac{-0.15}{850} = \frac{-3}{17000}$$10001​−8501​=8500.85−1​=850−0.15​=17000−3​ $$0.17 \times \left( \frac{-3}{17000} \right) = \frac{-0.51}{17000} = -0.000030 \ \mathrm{m^3}$$0.17×(17000−3​)=17000−0.51​=−0.000030 m3

これらを足し合わせて $\Delta V$ΔV を求めます。

$$\Delta V = 0.000234 - 0.000030 = 0.000204 \ \mathrm{m^3}$$ΔV=0.000234−0.000030=0.000204 m3

最後に、断面積 $S_0 = 1.2 \times 10^{-2} \ \mathrm{m^2} = 0.012 \ \mathrm{m^2}$S0​=1.2×10−2 m2=0.012 m2 で割って $\Delta h$Δh を求めます。

$$\Delta h = \frac{0.000204}{0.012} = 0.017 \ \mathrm{m}$$Δh=0.0120.000204​=0.017 m

指示に従い、この数値を $10^5$105 倍した値が最終解答となります。

$$0.017 \times 10^5 = 1700$$0.017×105=1700