GSO002 問題11

本問は、波動分野の「くさび形空気層の干渉」と、力学分野の「剛体のつり合い・浮力」を組み合わせた融合問題です。実験1の干渉条件から未知のばね定数を逆算し、実験2の力学的変化から再び干渉条件を立式するという、分野横断的な思考力が問われます。

1. 微小角近似の妥当性と準備

ガラス板Aの右端（$x=L$x=L）における隙間の高さを $D$D とします。このときガラス板Aの傾き角 $\theta$θ は $\sin\theta = D/L$sinθ=D/L となります。 隙間の高さ $D$D は自然長 $l_0 = 1.0 \times 10^{-4} \mathrm{\ m}$l0​=1.0×10−4 m よりも小さいため、$\theta \approx D/L < 5.0 \times 10^{-4} \mathrm{\ rad}$θ≈D/L<5.0×10−4 rad という極めて小さな値です。 したがって、$\cos\theta \approx 1$cosθ≈1 とみなせるため、ガラス板Aの重心の水平座標は実質的に $\frac{L}{2}$2L​ としてモーメントのつり合いの式を立てることができます。

2. 空気中（実験1）における波動と力学の解析

真上から入射した光の、ガラス板Aの下面での反射（自由端反射、位相変化なし）と、ガラス板Bの上面での反射（固定端反射、位相 $\pi$π 変化）による干渉を考えます。 空気中での右端の隙間の高さを $D_1$D1​ とすると、位置 $x$x での隙間の厚さは $x \frac{D_1}{L}$xLD1​​ です。 空気の屈折率を $1$1 とすると、明線の干渉条件は整数 $m$m を用いて、 $2 x \frac{D_1}{L} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda$2xLD1​​=(m+21​)λ 隣り合う明線の間隔 $\Delta x_1$Δx1​ は、 $\Delta x_1 = \frac{L \lambda}{2 D_1}$Δx1​=2D1​Lλ​ これに数値を代入して $D_1$D1​ を求めます。 $D_1 = \frac{L \lambda}{2 \Delta x_1} = \frac{0.20 \times 6.0 \times 10^{-7}}{2 \times 0.75 \times 10^{-3}} = \frac{1.2 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-3}} = 8.0 \times 10^{-5} \mathrm{\ m}$D1​=2Δx1​Lλ​=2×0.75×10−30.20×6.0×10−7​=1.5×10−31.2×10−7​=8.0×10−5 m

次に、力学的なつり合いを考えます。ガラス板Aの重力 $W = Mg = 0.40 \times 10 = 4.0 \mathrm{\ N}$W=Mg=0.40×10=4.0 N が重心（$x = L/2$x=L/2）に働きます。 接合部（$x=0$x=0）を回転軸とするモーメントのつり合いより、スペーサーの支持力を $F_1$F1​ とすると、 $W \cdot \frac{L}{2} = F_1 \cdot L \implies F_1 = \frac{W}{2} = 2.0 \mathrm{\ N}$W⋅2L​=F1​⋅L⟹F1​=2W​=2.0 N スペーサーの縮み量 $y_1$y1​ は $y_1 = l_0 - D_1 = 1.0 \times 10^{-4} - 8.0 \times 10^{-5} = 2.0 \times 10^{-5} \mathrm{\ m}$y1​=l0​−D1​=1.0×10−4−8.0×10−5=2.0×10−5 m です。 フックの法則 $F_1 = k y_1$F1​=ky1​ より、未知のばね定数 $k$k が求まります。 $k = \frac{F_1}{y_1} = \frac{2.0}{2.0 \times 10^{-5}} = 1.0 \times 10^5 \mathrm{\ N/m}$k=y1​F1​​=2.0×10−52.0​=1.0×105 N/m

3. 液体中（実験2）における力学と波動の解析

装置全体を液体に沈めると、ガラス板Aには鉛直上向きに浮力 $F_b$Fb​ が働きます。 ガラス板Aの体積 $V = \frac{M}{\rho}$V=ρM​ より、アルキメデスの原理を用いて浮力を求めます。 $F_b = \rho_0 V g = \rho_0 \frac{M}{\rho} g = 1.0 \times 10^3 \times \frac{0.40}{2.0 \times 10^3} \times 10 = 2.0 \mathrm{\ N}$Fb​=ρ0​Vg=ρ0​ρM​g=1.0×103×2.0×1030.40​×10=2.0 N 浮力は一様な直方体の重心に作用するため、見かけの重力 $W' = W - F_b = 4.0 - 2.0 = 2.0 \mathrm{\ N}$W′=W−Fb​=4.0−2.0=2.0 N となります。 再び $x=0$x=0 まわりのモーメントのつり合いから、液体中でのスペーサーの支持力 $F_2$F2​ は、 $F_2 = \frac{W'}{2} = 1.0 \mathrm{\ N}$F2​=2W′​=1.0 N このときのスペーサーの縮み量 $y_2$y2​ は、 $y_2 = \frac{F_2}{k} = \frac{1.0}{1.0 \times 10^5} = 1.0 \times 10^{-5} \mathrm{\ m}$y2​=kF2​​=1.0×1051.0​=1.0×10−5 m したがって、液体中における右端の隙間の高さ $D_2$D2​ は、 $D_2 = l_0 - y_2 = 1.0 \times 10^{-4} - 1.0 \times 10^{-5} = 9.0 \times 10^{-5} \mathrm{\ m}$D2​=l0​−y2​=1.0×10−4−1.0×10−5=9.0×10−5 m

液体中での干渉を考えます。隙間は屈折率 $n$n の液体で満たされているため、光路差は $2nd$2nd となります。 また、反射の際の位相変化は実験1と同様（下側の反射は位相反転なし、上側の反射は $\pi$π 反転あり）です。 明線の干渉条件から、液体中での明線間隔 $\Delta x_2$Δx2​ は、 $\Delta x_2 = \frac{L \lambda}{2 n D_2}$Δx2​=2nD2​Lλ​ これに数値を代入し、液体の屈折率 $n$n を求めます。 $n = \frac{L \lambda}{2 D_2 \Delta x_2} = \frac{0.20 \times 6.0 \times 10^{-7}}{2 \times 9.0 \times 10^{-5} \times 0.50 \times 10^{-3}} = \frac{1.2 \times 10^{-7}}{9.0 \times 10^{-8}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$n=2D2​Δx2​Lλ​=2×9.0×10−5×0.50×10−30.20×6.0×10−7​=9.0×10−81.2×10−7​=912​=34​

4. 解答の算出

屈折率 $n = \frac{4}{3}$n=34​ は既約分数であり、$A = 4, B = 3$A=4,B=3 と対応します。 求めるべき値は $100A + B$100A+B であるため、 $100 \times 4 + 3 = 403$100×4+3=403 よって、回答すべき自然数は「403」となります。