GSO002 問題12

1. 回路におけるエネルギー保存則の立式

極板Bから手を離した後、極板Bはコンデンサーの極板間引力によって極板Aに引き寄せられ、ばねを伸ばしながら運動します。 この過程で極板間距離 $d$d が変化するため、コンデンサーの静電容量 $C = \frac{\varepsilon S}{d}$C=dεS​ も変化します。 電源が接続されているため、極板間の電位差は常に $V$V で一定です。静電容量が変化するとコンデンサーに蓄えられる電荷 $Q = CV$Q=CV が変化し、電源から新たに電荷が供給（または吸収）されます。このとき、電池は仕事を行います。

系全体のエネルギー保存則を考えます。手を離した直後（位置 $d = d_0$d=d0​）と、極板Bが最も極板Aに近づいて一瞬静止した瞬間（位置 $d = d_{min}$d=dmin​）を比較します。どちらの瞬間も極板Bの速度は $0$0 であるため、運動エネルギーの変化は $0$0 です。 したがって、電池がした仕事 $W_{batt}$Wbatt​ は、ばねの弾性エネルギーの増加量 $\Delta U_{spring}$ΔUspring​ と、コンデンサーの静電エネルギーの増加量 $\Delta U_{elec}$ΔUelec​ の和に等しくなります。

$$W_{batt} = \Delta U_{spring} + \Delta U_{elec}$$Wbatt​=ΔUspring​+ΔUelec​

（※本問の条件下では、回路の抵抗やインダクタンスを無視できるほどゆっくりとした力学的変化にエネルギーが変換されるため、ジュール熱によるエネルギー損失は発生しません。）

2. 各エネルギー変化の定式化

初期状態（距離 $d_0$d0​）の静電容量を $C_0$C0​、最も近づいた状態（距離 $d_{min}$dmin​）の静電容量を $C_{min}$Cmin​ とします。

$$C_0 = \frac{\varepsilon S}{d_0}, \quad C_{min} = \frac{\varepsilon S}{d_{min}}$$C0​=d0​εS​,Cmin​=dmin​εS​

コンデンサーに蓄えられる電荷は $Q_0 = C_0 V$Q0​=C0​V から $Q_{min} = C_{min} V$Qmin​=Cmin​V へと変化します。 この間に電池が供給した電荷量は $\Delta Q = Q_{min} - Q_0 = (C_{min} - C_0)V$ΔQ=Qmin​−Q0​=(Cmin​−C0​)V ですから、電池がした仕事は以下のようになります。

$$W_{batt} = V \Delta Q = (C_{min} - C_0)V^2$$Wbatt​=VΔQ=(Cmin​−C0​)V2

静電エネルギーの変化量は以下の通りです。

$$\Delta U_{elec} = \frac{1}{2} C_{min} V^2 - \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} (C_{min} - C_0)V^2$$ΔUelec​=21​Cmin​V2−21​C0​V2=21​(Cmin​−C0​)V2

ばねの自然長からの伸びは $d_0 - d_{min}$d0​−dmin​ となるため、弾性エネルギーの変化量は以下の通りです。

$$\Delta U_{spring} = \frac{1}{2} k (d_0 - d_{min})^2$$ΔUspring​=21​k(d0​−dmin​)2

これらをエネルギー保存則の式に代入します。

$$(C_{min} - C_0)V^2 = \frac{1}{2} k (d_0 - d_{min})^2 + \frac{1}{2} (C_{min} - C_0)V^2$$(Cmin​−C0​)V2=21​k(d0​−dmin​)2+21​(Cmin​−C0​)V2

整理すると、以下の関係が得られます。

$$\frac{1}{2} k (d_0 - d_{min})^2 = \frac{1}{2} (C_{min} - C_0)V^2$$21​k(d0​−dmin​)2=21​(Cmin​−C0​)V2

これは「電圧一定のもとで極板が移動するとき、静電気力がする仕事（右辺）が、すべて力学的エネルギー（左辺：今回はばねの弾性エネルギー）に変換される」ことを意味しています。

3. $d_{min}$dmin​ に関する二次方程式の導出

静電容量の式を代入し、さらに整理を進めます。

$$k (d_0 - d_{min})^2 = \left( \frac{\varepsilon S}{d_{min}} - \frac{\varepsilon S}{d_0} \right) V^2$$k(d0​−dmin​)2=(dmin​εS​−d0​εS​)V2 $$k (d_0 - d_{min})^2 = \varepsilon S V^2 \left( \frac{d_0 - d_{min}}{d_0 d_{min}} \right)$$k(d0​−dmin​)2=εSV2(d0​dmin​d0​−dmin​​)

極板Bは運動しているため、$d_{min} \neq d_0$dmin​=d0​ です。したがって両辺を $(d_0 - d_{min})$(d0​−dmin​) で割ることができます。

$$k (d_0 - d_{min}) = \frac{\varepsilon S V^2}{d_0 d_{min}}$$k(d0​−dmin​)=d0​dmin​εSV2​

両辺に $d_0 d_{min}$d0​dmin​ を掛けます。

$$k d_0 d_{min} (d_0 - d_{min}) = \varepsilon S V^2$$kd0​dmin​(d0​−dmin​)=εSV2

これを展開して $d_{min}$dmin​ についての二次方程式の形に整理します。

$$d_{min}^2 - d_0 d_{min} + \frac{\varepsilon S V^2}{k d_0} = 0$$dmin2​−d0​dmin​+kd0​εSV2​=0

二次方程式の解の公式より、極板が静止する位置 $d$d は以下の2つの解を持ちます。

$$d = \frac{d_0 \pm \sqrt{d_0^2 - 4\frac{\varepsilon S V^2}{k d_0}}}{2}$$d=2d0​±d02​−4kd0​εSV2​​​

極板Bは $d_0$d0​ の位置から引力によって引かれ、極板間距離 $d$d が減少していく運動をします。最初に速度が $0$0 になる点（折り返し点）が $d_{min}$dmin​ となるため、2つの解のうち $d_0$d0​ に近い方（すなわち大きい方の解）が物理的に妥当な $d_{min}$dmin​ となります。

$$d_{min} = \frac{d_0 + \sqrt{d_0^2 - 4\frac{\varepsilon S V^2}{k d_0}}}{2}$$dmin​=2d0​+d02​−4kd0​εSV2​​​

4. 数値の代入と計算

制約として与えられた数値を各項に代入して計算します。 まず、二次方程式の定数項にあたる部分を計算します。

$$\varepsilon S V^2 = (8.5 \times 10^{-12} \text{ F/m}) \times (2.0 \text{ m}^2) \times (4.0 \times 10^2 \text{ V})^2$$εSV2=(8.5×10−12 F/m)×(2.0 m2)×(4.0×102 V)2 $$= 17.0 \times 10^{-12} \times 1.6 \times 10^5 = 27.2 \times 10^{-7} = 2.72 \times 10^{-6} \text{ J m}$$=17.0×10−12×1.6×105=27.2×10−7=2.72×10−6 J m $$k d_0 = (1.0 \times 10^1 \text{ N/m}) \times (1.7 \times 10^{-2} \text{ m}) = 0.17 \text{ N}$$kd0​=(1.0×101 N/m)×(1.7×10−2 m)=0.17 N

したがって、

$$4\frac{\varepsilon S V^2}{k d_0} = 4 \times \frac{2.72 \times 10^{-6}}{0.17} = 4 \times 16 \times 10^{-6} = 64 \times 10^{-6} = 0.64 \times 10^{-4} \text{ m}^2$$4kd0​εSV2​=4×0.172.72×10−6​=4×16×10−6=64×10−6=0.64×10−4 m2

次に、$d_0^2$d02​ を計算します。

$$d_0^2 = (1.7 \times 10^{-2})^2 = 2.89 \times 10^{-4} \text{ m}^2$$d02​=(1.7×10−2)2=2.89×10−4 m2

ルートの中身（判別式 $D$D）を求めます。

$$D = d_0^2 - 4\frac{\varepsilon S V^2}{k d_0} = 2.89 \times 10^{-4} - 0.64 \times 10^{-4} = 2.25 \times 10^{-4} \text{ m}^2$$D=d02​−4kd0​εSV2​=2.89×10−4−0.64×10−4=2.25×10−4 m2

平方根をとると、

$$\sqrt{D} = \sqrt{2.25 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}$$D​=2.25×10−4​=1.5×10−2 m

最後に $d_{min}$dmin​ を計算します。

$$d_{min} = \frac{1.7 \times 10^{-2} + 1.5 \times 10^{-2}}{2} = \frac{3.2 \times 10^{-2}}{2} = 1.6 \times 10^{-2} \text{ m}$$dmin​=21.7×10−2+1.5×10−2​=23.2×10−2​=1.6×10−2 m

これをミリメートル ($\text{mm}$mm) 単位に変換すると、

$$1.6 \times 10^{-2} \text{ m} = 16 \times 10^{-3} \text{ m} = 16 \text{ mm}$$1.6×10−2 m=16×10−3 m=16 mm

よって、求める自然数は 16 となります。