GSO002 問題16

外力が働かない系であるため、2つのパックの重心は等速直線運動を行います。系の総質量 $M = m_A + m_B = 16 \text{ kg}$ です。重心の速度 $\vec{V}_{CM}$ は、運動量保存則より常に一定であり、初期状態から以下のように求まります。

\vec{V}_{CM} = \frac{m_A \vec{v}_A(0) + m_B \vec{v}_B(0)}{M} = \frac{12(5, 0) + 4(-20, 10)}{16} = \frac{(60, 0) + (-80, 40)}{16} = \left(-\frac{5}{4}, \frac{5}{2}\right) \text{ m/s}

静止座標系から見た任意のパックの速度は、「重心の速度」と「重心系（相対系）での速度」の和として表すことができます。

パックAから見たパックBの相対位置ベクトルを $\vec{r}(t) = \vec{r}_B(t) - \vec{r}_A(t)$ とします。相対運動の運動方程式は、換算質量 $\mu$ を用いて $\mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}_{rel}$ と表されます。

\mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} = \frac{12 \times 4}{12 + 4} = 3 \text{ kg}

働く力は $\vec{F}_{rel} = -K\vec{r}$ であるため、運動方程式は以下のようになります。

3 \ddot{\vec{r}} = -75 \vec{r} \implies \ddot{\vec{r}} = -25 \vec{r}

これは、角振動数 $\omega = \sqrt{25} = 5 \text{ rad/s}$ の2次元調和振動（単振動）を表します。一般解は、定数ベクトル $\vec{C}_1, \vec{C}_2$ を用いて次のように書けます。

\vec{r}(t) = \vec{C}_1 \cos(5t) + \vec{C}_2 \sin(5t)

初期条件より定数ベクトルを決定します。時刻 $t=0$ での相対位置：

\vec{r}(0) = (0, 6) - (0, 0) = (0, 6) \implies \vec{C}_1 = (0, 6)

時刻 $t=0$ での相対速度：

\dot{\vec{r}}(0) = \vec{v}_B(0) - \vec{v}_A(0) = (-20, 10) - (5, 0) = (-25, 10)

また、 $\dot{\vec{r}}(t) = -5\vec{C}_1 \sin(5t) + 5\vec{C}_2 \cos(5t)$ より、

\dot{\vec{r}}(0) = 5\vec{C}_2 = (-25, 10) \implies \vec{C}_2 = (-5, 2)

したがって、相対位置ベクトル $\vec{r}(t)$ の $x, y$ 成分は以下のように求まります。

\vec{r}(t) = \left( -5 \sin(5t), \ 6 \cos(5t) + 2 \sin(5t) \right)

パック間の距離の2乗 $r^2(t) = |\vec{r}(t)|^2$ を計算し、最大となる時刻 $t_1$ を特定します。

r^2(t) = (-5 \sin 5t)^2 + (6 \cos 5t + 2 \sin 5t)^2

= 25 \sin^2 5t + 36 \cos^2 5t + 24 \sin 5t \cos 5t + 4 \sin^2 5t

= 29 \sin^2 5t + 36 \cos^2 5t + 24 \sin 5t \cos 5t

半角の公式および2倍角の公式（ $\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ ）を適用します。

r^2(t) = 29 \left( \frac{1 - \cos 10t}{2} \right) + 36 \left( \frac{1 + \cos 10t}{2} \right) + 12 \sin 10t

= \frac{65}{2} + \frac{7}{2} \cos 10t + 12 \sin 10t

三角関数の合成を行います。

\frac{7}{2} \cos 10t + 12 \sin 10t = \frac{1}{2} (24 \sin 10t + 7 \cos 10t) = \frac{25}{2} \sin(10t + \alpha)

（ただし、 $\alpha$ は $\cos\alpha = \frac{24}{25}, \sin\alpha = \frac{7}{25}$ を満たす第1象限の角です）よって、

r^2(t) = \frac{65}{2} + \frac{25}{2} \sin(10t + \alpha)

距離が初めて最大となる時刻 $t_1$ において、 $\sin(10t_1 + \alpha) = 1$ となります。すなわち、 $10t_1 + \alpha = \frac{\pi}{2}$ です。このとき、

\cos(10t_1) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = \frac{7}{25}

2倍角の公式 $\cos(10t_1) = 2\cos^2(5t_1) - 1$ より、

2\cos^2(5t_1) - 1 = \frac{7}{25} \implies \cos^2(5t_1) = \frac{16}{25}

$10t_1 + \alpha = \frac{\pi}{2}$ より $5t_1 < \frac{\pi}{4}$ であり、第1象限であるため正の根をとります。

\cos(5t_1) = \frac{4}{5}, \quad \sin(5t_1) = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}

時刻 $t_1$ における相対速度 $\dot{\vec{r}}(t_1)$ を求めます。

\dot{\vec{r}}(t) = \frac{d}{dt}\left( -5 \sin(5t), \ 6 \cos(5t) + 2 \sin(5t) \right) = \left( -25 \cos(5t), \ -30 \sin(5t) + 10 \cos(5t) \right)

$t = t_1$ の三角関数の値を代入します。

\dot{x}(t_1) = -25 \times \frac{4}{5} = -20

\dot{y}(t_1) = -30 \times \frac{3}{5} + 10 \times \frac{4}{5} = -18 + 8 = -10

よって、 $\dot{\vec{r}}(t_1) = (-20, -10)$ となります。

静止座標系におけるパックBの速度 $\vec{v}_B(t_1)$ は、重心速度と相対速度を用いて次のように表されます。

\vec{v}_B(t_1) = \vec{V}_{CM} + \frac{m_A}{m_A + m_B} \dot{\vec{r}}(t_1) = \vec{V}_{CM} + \frac{3}{4} \dot{\vec{r}}(t_1)

値を代入して計算します。

\vec{v}_B(t_1) = \left(-\frac{5}{4}, \frac{5}{2}\right) + \frac{3}{4} (-20, -10) = \left(-\frac{5}{4}, \frac{10}{4}\right) + \left(-\frac{60}{4}, -\frac{30}{4}\right)

\vec{v}_B(t_1) = \left(-\frac{65}{4}, -\frac{20}{4}\right) = \left(-\frac{65}{4}, -5\right) \text{ m/s}

最後に、パックBの運動エネルギー $E_K$ を求めます。

E_K = \frac{1}{2} m_B |\vec{v}_B(t_1)|^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times \left( \left(-\frac{65}{4}\right)^2 + (-5)^2 \right) = 2 \times \left( \frac{4225}{16} + 25 \right)

E_K = 2 \times \left( \frac{4225 + 400}{16} \right) = 2 \times \frac{4625}{16} = \frac{4625}{8} \text{ J}

分母の $8=2^3$ に対し、分子の $4625$ は奇数であり $2$ を因数に持たないため、これは既約分数です。 $A = 4625, B = 8$ であり、求める値は $A+B$ です。

A + B = 4625 + 8 = 4633

重心系における2次元調和振動：特殊引力下でのパックの軌跡