GSO002 問題6

理想気体の内部エネルギー $U$ は、絶対温度を $T$ 、物質量を $n$ とすると、定積モル比熱 $C_V$ を用いて以下のように表されます。

U = nC_VT

本問の過程ではシリンダーは密閉されているため、物質量 $n$ は一定です。また、空気は2原子分子理想気体とみなせるため、 $C_V = \frac{5}{2}R$ です。したがって、

U = \frac{5}{2}nRT

理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ を用いると、内部エネルギーは圧力 $P$ と体積 $V$ を用いて次のように書き換えられます。

U = \frac{5}{2}PV

状態1（初期状態）から状態2（バルブ開放直前）への変化に伴う内部エネルギーの変化量 $\Delta U$ は、

\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{5}{2}(P_2V_2 - P_1V_1)

となります。与えられた制約の数値をそれぞれ代入します。

P_1V_1 = (1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}) \times (2.5 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}^3) = 250\ \mathrm{J}

P_2V_2 = (3.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}) \times (1.48 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}^3) = 444\ \mathrm{J}

これらを代入して計算します。

\Delta U = \frac{5}{2}(444 - 250) = \frac{5}{2}(194) = 5 \times 97 = 485\ \mathrm{J}

$\Delta U > 0$ であるため、圧縮によって気体の温度は上昇していることが確認できます。

熱力学第一法則は「気体が外部から吸収した熱量 $Q$ 」と「気体が外部に対してした仕事 $W$ 」を用いて以下のように定義されます。

Q = \Delta U + W

本問では、気体は外部へ熱量を「放出」しており、外部から仕事を「されて」います。

これらを熱力学第一法則の式に代入します。

-Q_{out} = \Delta U + (-W_{in})

移項して $Q_{out}$ について整理します。

Q_{out} = W_{in} - \Delta U

この式は、「外部からされた仕事のうち、内部エネルギーの増加に使われなかった分が、熱として外部へ逃げた」という直感的なエネルギー収支を表しています。

ステップ2で求めた $\Delta U = 485\ \mathrm{J}$ と、制約として与えられた $W_{in} = 562\ \mathrm{J}$ を代入します。

Q_{out} = 562 - 485 = 77\ \mathrm{J}

以上より、空気が外部へ放出した熱量は $77\ \mathrm{J}$ と一意に求まります。

正解：77

自転車の空気入れにおける熱力学第一法則（バルブ開放前の圧縮過程）