平行電流間の荷電粒子の運動

問題文（再掲）

真空中の $x, y, z$x,y,z 直交座標系において、$z$z 軸に平行な2本の無限に長い直線導線が配置されている。一方の導線は $(d, 0, z)$(d,0,z) を通り、もう一方の導線は $(-d, 0, z)$(−d,0,z) を通っている。これら2本の導線には、ともに $+z$+z 方向へ一定の電流 $I$I が流れている。

時刻 $t$t において、質量 $m$m、電気量 $q$q（$q > 0$q>0）の荷電粒子を原点 $(0,0,0)$(0,0,0) に置き、初速度 $\vec{v} = (v_1, 0, v_0)$v=(v1​,0,v0​) を与えた。ここで、$v_1$v1​ は $v_0$v0​ に比べて十分に小さく（$v_1 \ll v_0$v1​≪v0​）、粒子の $x$x 座標の変位は常に $d$d に比べて十分に小さい（$|x| \ll d$∣x∣≪d）ものとする。

粒子は $z$z 方向へ進みながら、$x$x 軸方向において微小な単振動を行う。このとき、粒子の $z$z 方向の速度成分は $v_0$v0​ で一定であると近似してよい。粒子が $x$x 方向の単振動を1周期終える間に、$z$z 方向に進む距離 $L$L を求めよ。

制約

• 導線の位置座標のパラメータ: $d = 0.50\ \mathrm{m}$d=0.50 m
• 導線に流れる電流: $I = 50\ \mathrm{A}$I=50 A
• 粒子の電気量: $q = 2.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{C}$q=2.0×10−4 C
• 粒子の質量: $m = 4.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$m=4.0×10−5 kg
• $z$z方向の初速度: $v_0 = 1.0 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$v0​=1.0×102 m/s
• 真空の透磁率: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$μ0​=4π×10−7 N/A2
• 重力や粒子からの電磁波の放射は無視する。

入力形式

距離 $L$L は円周率 $\pi$π を用いて $A\pi\ (\mathrm{m})$Aπ (m) の形で表される。自然数 $A$A の値を回答せよ。