静磁場中の円柱領域を貫く電流

問題文（再掲）

真空中の3次元直交座標系 $(x, y, z)$(x,y,z) において、定常的な磁束密度 $\mathbf{B}(x, y, z)$B(x,y,z) が空間に次のように分布している。

$$\mathbf{B}(x, y, z) = B_0 e^{-\alpha(x^2 + y^2)} (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j})$$B(x,y,z)=B0​e−α(x2+y2)(−yi+xj)

ここで、$B_0$B0​ および $\alpha$α は正の定数であり、$\mathbf{i}, \mathbf{j}$i,j はそれぞれ $x$x 軸、$y$y 軸の正の向きを向く単位ベクトルである。 この磁場分布を形成するために、空間にはマクスウェル方程式に従う定常電流が流れている。 $xy$xy 平面上の原点を中心とする半径 $R = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}$R=α​1​ の円板領域 $S$S（$x^2 + y^2 \le R^2, z=0$x2+y2≤R2,z=0）を、$+z$+z 方向に貫く全電流 $I$I を求めよ。 なお、真空の透磁率を $\mu_0$μ0​、ネイピア数を $e$e とする。

制約

• 磁場係数 $B_0 = 1.37 \times 10^{-2} \text{ T}$B0​=1.37×10−2 T
• 空間減衰係数 $\alpha = 2.50 \times 10^3 \text{ m}^{-2}$α=2.50×103 m−2
• 真空の透磁率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$μ0​=4π×10−7 N/A2

入力形式

電流 $I$I は、ネイピア数 $e$e を用いて $I = \frac{X}{e} \text{ (A)}$I=eX​ (A) と表される。このとき、$X$X は既約分数 $\frac{A}{B}$BA​ （$A, B$A,B は互いに素な自然数）となるため、$A+B$A+B の値を自然数で回答せよ。