U字管内の液柱の振動と断熱変化

問題文（再掲）

断面積が $S$S で一様なU字管が、水平な床の上に固定されている。U字管の左側の管は上端が閉じられており、右側の管は上端が大気に開放されている。このU字管の中に密度 $\rho$ρ の液体を入れたところ、左側の管には理想気体（単原子分子）が閉じ込められた。大気圧を $P_0$P0​ 、重力加速度の大きさを $g$g とする。

【状態0】 初期状態では、閉じ込められた気体の温度は $T_0$T0​ であり、左右の液面は同じ高さにあった。このとき、閉じ込められた気体柱の長さは $l_0$l0​ であった。

【状態1】 次に、左側の管の気体をゆっくりと加熱したところ、気体は膨張し、液柱全体が右側へ押し出された。気体柱の長さが $l_1$l1​ （$l_1 > l_0$l1​>l0​）になったところで加熱を止め、熱平衡に達した。このときの気体の圧力を $P_1$P1​ とする。

【状態2（微小振動）】 状態1から、液柱全体を管に沿ってごくわずかに動かし、静かに手を放したところ、液柱は単振動を始めた。この振動の周期は十分に短く、左側の管に閉じ込められた気体の状態変化は断熱変化とみなすことができる。

液柱全体の長さを $L$L とし、液体の粘性や管との摩擦、および液柱の運動に伴う運動エネルギー以外のエネルギー損失はすべて無視できるものとする。また、気体の質量は液体の質量に比べて十分に小さく無視できる。

この液柱の微小振動における角振動数の2乗 $\omega^2$ω2 を求めよ。

制約

• 大気圧: $P_0 = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}$P0​=1.013×105 Pa
• 重力加速度の大きさ: $g = 9.80 \text{ m/s}^2$g=9.80 m/s2
• 液体の密度: $\rho = 1.00 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$ρ=1.00×103 kg/m3
• 液柱の全長: $L = 2.00 \text{ m}$L=2.00 m
• 状態0の気体柱の長さ: $l_0 = 0.400 \text{ m}$l0​=0.400 m
• 状態1の気体柱の長さ: $l_1 = 0.500 \text{ m}$l1​=0.500 m
• 単原子分子理想気体の比熱比: $\gamma = \frac{5}{3}$γ=35​

入力形式

$\omega^2$ω2 の値を単位 $\text{rad}^2/\text{s}^2$rad2/s2 で計算し、得られた値を $10$10 倍した値を回答せよ。