GSO001 問題13

1. 原点付近の磁束密度を求める

まずは、2本の無限に長い直線導線が $x$x 軸上の原点付近（$|x| \ll d$∣x∣≪d）にどのような磁場を作っているのかを調べます。アンペールの法則（またはビオ・サバールの法則）を用いて、それぞれの導線が作る磁束密度を重ね合わせましょう。

直線電流 $I$I から距離 $r$r 離れた点における磁束密度の大きさ $B$B は、真空の透磁率を $\mu_0$μ0​ とすると以下の式で表されます。

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$B=2πrμ0​I​

• 導線1（座標 $x = d$x=d）が作る磁場: 観測点 $(x, 0, z)$(x,0,z) までの距離は $d - x$d−x です。電流は $+z$+z 方向（手前方向）に流れているため、右ねじの法則により、原点付近では $+y$+y 方向の磁場を作ります。 この磁束密度の大きさを $B_1$B1​ とすると、次のようになります。

$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d - x)}$$B1​=2π(d−x)μ0​I​

• 導線2（座標 $x = -d$x=−d）が作る磁場: 観測点 $(x, 0, z)$(x,0,z) までの距離は $d + x$d+x です。こちらも電流は $+z$+z 方向に流れているため、右ねじの法則により、原点付近では $-y$−y 方向の磁場を作ります。 この磁束密度の大きさを $B_2$B2​ とすると、次のようになります。

$$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d + x)}$$B2​=2π(d+x)μ0​I​

したがって、点 $(x, 0, z)$(x,0,z) における磁束密度の $y$y 成分 $B_y$By​ は、これら2つの磁場の差（重ね合わせ）として計算できます。

$$B_y = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d - x)} - \frac{\mu_0 I}{2\pi (d + x)}$$By​=B1​−B2​=2π(d−x)μ0​I​−2π(d+x)μ0​I​

これを共通の分母で通分して整理します。

$$B_y = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{(d + x) - (d - x)}{(d - x)(d + x)} \right) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \frac{2x}{d^2 - x^2} = \frac{\mu_0 I x}{\pi (d^2 - x^2)}$$By​=2πμ0​I​((d−x)(d+x)(d+x)−(d−x)​)=2πμ0​I​d2−x22x​=π(d2−x2)μ0​Ix​

ここで、問題文の条件より粒子の変位は $d$d に比べて十分に小さい（$|x| \ll d$∣x∣≪d）ため、$x^2$x2 は $d^2$d2 に比べて非常に小さくなり、$d^2 - x^2 \approx d^2$d2−x2≈d2 と近似することができます。

$$B_y \approx \frac{\mu_0 I}{\pi d^2} x$$By​≈πd2μ0​I​x

これにより、原点付近の磁束密度ベクトル $\vec{B}$B は、$y$y 軸方向のみを持ち、$x$x に比例して大きくなることがわかりました。

2. 荷電粒子にはたらくローレンツ力を導出する

次に、この磁場中を運動する荷電粒子が受ける力を考えます。磁場中を速度 $\vec{v}$v で動く電気量 $q$q の粒子が受けるローレンツ力 $\vec{F}$F は、外積を用いて $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$F=q(v×B) と表されます。

粒子の速度ベクトルを $\vec{v} = (v_x, 0, v_0)$v=(vx​,0,v0​)、磁束密度ベクトルを $\vec{B} = (0, B_y, 0)$B=(0,By​,0) と置いて外積を計算します。

$$\vec{v} \times \vec{B} = (v_x, 0, v_0) \times (0, B_y, 0) = (-v_0 B_y, 0, v_x B_y)$$v×B=(vx​,0,v0​)×(0,By​,0)=(−v0​By​,0,vx​By​)

したがって、ローレンツ力の各成分は次のようになります。

• $x$x 成分: $F_x = -q v_0 B_y$Fx​=−qv0​By​
• $y$y 成分: $F_y = 0$Fy​=0
• $z$z 成分: $F_z = q v_x B_y$Fz​=qvx​By​

ここで、$x$x 軸方向の力 $F_x$Fx​ に、先ほど求めた $B_y$By​ の近似式を代入します。

$$F_x = -q v_0 \left( \frac{\mu_0 I}{\pi d^2} x \right) = - \left( \frac{q v_0 \mu_0 I}{\pi d^2} \right) x$$Fx​=−qv0​(πd2μ0​I​x)=−(πd2qv0​μ0​I​)x

この式は、$F_x = -Kx$Fx​=−Kx（$K$K は正の定数）という形をしており、原点に引き戻そうとする復元力としてはたらくことを示しています。これが $x$x 方向で単振動を起こす理由です。

補足: $z$z 軸方向の力 $F_z = q v_x B_y$Fz​=qvx​By​ についてですが、$v_x$vx​ と $B_y$By​ (つまり $x$x) はともに微小量であるため、それらの積である $F_z$Fz​ はさらに小さな2次の微小量となります。そのため、$z$z 方向の加速度はほぼゼロとなり、問題文にある「$z$z 方向の速度成分は $v_0$v0​ で一定であると近似してよい」という仮定が成り立ちます。

3. 運動方程式と単振動の周期

粒子の質量を $m$m とし、$x$x 方向の運動方程式を立てます。

$$m a_x = F_x \implies m \frac{d^2 x}{dt^2} = - \left( \frac{q v_0 \mu_0 I}{\pi d^2} \right) x$$max​=Fx​⟹mdt2d2x​=−(πd2qv0​μ0​I​)x

単振動の運動方程式 $m a = -m \omega^2 x$ma=−mω2x と係数を比較することで、角振動数 $\omega$ω は次のように求まります。

$$m \omega^2 = \frac{q v_0 \mu_0 I}{\pi d^2} \implies \omega = \sqrt{\frac{q v_0 \mu_0 I}{\pi m d^2}}$$mω2=πd2qv0​μ0​I​⟹ω=πmd2qv0​μ0​I​​

単振動が1回完了するのにかかる時間、すなわち周期 $T$T は $T = 2\pi / \omega$T=2π/ω で与えられるため、逆数をとって代入します。

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{\pi m d^2}{q v_0 \mu_0 I}} = 2\pi d \sqrt{\frac{\pi m}{q v_0 \mu_0 I}}$$T=2πqv0​μ0​Iπmd2​​=2πdqv0​μ0​Iπm​​

4. 1周期の間に進む距離 $L$L を計算する

粒子は $z$z 方向には速さ $v_0$v0​ で等速直線運動をしていると近似できるため、$x$x 方向の単振動を1周期終える間に $z$z 方向に進む距離 $L$L は以下の式で計算できます。

$$L = v_0 T = v_0 \cdot 2\pi d \sqrt{\frac{\pi m}{q v_0 \mu_0 I}} = 2\pi d \sqrt{\frac{\pi m v_0^2}{q v_0 \mu_0 I}} = 2\pi d \sqrt{\frac{\pi m v_0}{q \mu_0 I}}$$L=v0​T=v0​⋅2πdqv0​μ0​Iπm​​=2πdqv0​μ0​Iπmv02​​​=2πdqμ0​Iπmv0​​​

いよいよ、与えられた数値をこの式に代入していきます。計算ミスを防ぐため、まずはルートの中身だけで計算を済ませましょう。

• $d$d = 0.50 m
• $m$m = $4.0 \times 10^{-5}$4.0×10−5 kg
• $v_0$v0​ = $1.0 \times 10^2$1.0×102 m/s
• $q$q = $2.0 \times 10^{-4}$2.0×10−4 C
• $\mu_0$μ0​ = $4\pi \times 10^{-7}$4π×10−7 N/A²
• $I$I = 50 A

ルートの中の分母と分子をそれぞれ計算します。

分子:

$$\pi m v_0 = \pi \times (4.0 \times 10^{-5}) \times (1.0 \times 10^2) = 4.0 \pi \times 10^{-3}$$πmv0​=π×(4.0×10−5)×(1.0×102)=4.0π×10−3

分母:

$$q \mu_0 I = (2.0 \times 10^{-4}) \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 50 = (2.0 \times 50 \times 4\pi) \times 10^{-11} = 400\pi \times 10^{-11} = 4.0\pi \times 10^{-9}$$qμ0​I=(2.0×10−4)×(4π×10−7)×50=(2.0×50×4π)×10−11=400π×10−11=4.0π×10−9

ルートの中身:

$$\frac{4.0\pi \times 10^{-3}}{4.0\pi \times 10^{-9}} = 10^6$$4.0π×10−94.0π×10−3​=106

この結果を距離 $L$L の式に戻して平方根をとります。$\sqrt{10^6} = 1000$106​=1000 ですね。

$$L = 2\pi \times 0.50 \times 1000 = 1000\pi$$L=2π×0.50×1000=1000π

結論

計算の結果、距離 $L$L は $1000\pi$1000π m と求まりました。問題では距離が $A\pi$Aπ m の形で表されるときの自然数 $A$A を回答することが求められていますので、最終的な答えは以下のようになります。

回答: 1000