問題文
静磁場中の円柱領域を貫く電流 問題文（再掲）
真空中の3次元直交座標系 ( x , y , z ) (x, y, z) ( x , y , z ) B ( x , y , z ) \mathbf{B}(x, y, z) B ( x , y , z )
B ( x , y , z ) = B 0 e − α ( x 2 + y 2 ) ( − y i + x j ) \mathbf{B}(x, y, z) = B_0 e^{-\alpha(x^2 + y^2)} (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}) B ( x , y , z ) = B 0 e − α ( x 2 + y 2 ) ( − y i + x j ) ここで、B 0 B_0 B 0 α \alpha α i , j \mathbf{i}, \mathbf{j} i , j x x x y y y x y xy x y R = 1 α R = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} R = α 1 S S S x 2 + y 2 ≤ R 2 , z = 0 x^2 + y^2 \le R^2, z=0 x 2 + y 2 ≤ R 2 , z = 0 + z +z + z I I I μ 0 \mu_0 μ 0 e e e
制約
磁場係数 B 0 = 1.37 × 10 − 2 B_0 = 1.37 \times 10^{-2} \text{ T} B 0 = 1.37 × 1 0 − 2 T
空間減衰係数 α = 2.50 × 10 3 m− 2 \alpha = 2.50 \times 10^3 \text{ m}^{-2} α = 2.50 × 1 0 3 m − 2
真空の透磁率 μ 0 = 4 π × 10 − 7 N/A2 \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2 μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 N/A 2
入力形式
電流 I I I e e e I = X e I = \frac{X}{e} \text{ (A)} I = e X (A) X X X A B \frac{A}{B} B A A , B A, B A , B A + B A+B A + B
この問題は、マクスウェル方程式（アンペールの法則）の微分形あるいは積分形を用いて、磁場分布から電流を逆算するベクトル解析の応用です。
アンペールの法則の積分形（ストークスの定理）を適用して解くのが最も見通しが良いです。
円板領域 S S S C C C R = 1 α R = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} R = α 1 x 2 + y 2 = R 2 , z = 0 x^2 + y^2 = R^2, z=0 x 2 + y 2 = R 2 , z = 0 C C C S S S I I I μ 0 \mu_0 μ 0
∮ C B ⋅ d l = μ 0 I \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I 円周 C C C x 2 + y 2 = R 2 = 1 α x^2 + y^2 = R^2 = \frac{1}{\alpha} x 2 + y 2 = R 2 = α 1
e − α ( x 2 + y 2 ) = e − α ( 1 / α ) = e − 1 e^{-\alpha(x^2 + y^2)} = e^{-\alpha(1/\alpha)} = e^{-1} e − α ( x 2 + y 2 ) = e − α ( 1/ α ) = e − 1 したがって、経路上での磁場 B \mathbf{B} B
B = B 0 e − 1 ( − y i + x j ) \mathbf{B} = B_0 e^{-1} (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}) B = B 0 e − 1 ( − y i + x j ) 円周上の微小変位ベクトル d l d\mathbf{l} d l ( r , θ ) (r, \theta) ( r , θ ) d x = − R sin θ d θ = − y d θ dx = -R \sin\theta d\theta = -y d\theta d x = − R sin θ d θ = − y d θ d y = R cos θ d θ = x d θ dy = R \cos\theta d\theta = x d\theta d y = R cos θ d θ = x d θ
d l = d x i + d y j = ( − y i + x j ) d θ d\mathbf{l} = dx \mathbf{i} + dy \mathbf{j} = (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}) d\theta d l = d x i + d y j = ( − y i + x j ) d θ となります。これより、内積 B ⋅ d l \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} B ⋅ d l
B ⋅ d l = B 0 e − 1 ( − y i + x j ) ⋅ ( − y i + x j ) d θ = B 0 e − 1 ( y 2 + x 2 ) d θ = B 0 e − 1 R 2 d θ \begin{aligned}
\mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} &= B_0 e^{-1} (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}) \cdot (-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}) d\theta \\
&= B_0 e^{-1} (y^2 + x^2) d\theta \\
&= B_0 e^{-1} R^2 d\theta
\end{aligned} B ⋅ d l = B 0 e − 1 ( − y i + x j ) ⋅ ( − y i + x j ) d θ = B 0 e − 1 ( y 2 + x 2 ) d θ = B 0 e − 1 R 2 d θ これを θ = 0 \theta = 0 θ = 0 2 π 2\pi 2 π
∮ C B ⋅ d l = ∫ 0 2 π B 0 e − 1 R 2 d θ = 2 π R 2 B 0 e − 1 = 2 π B 0 α e \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \int_0^{2\pi} B_0 e^{-1} R^2 d\theta = 2\pi R^2 B_0 e^{-1} = \frac{2\pi B_0}{\alpha e} ∮ C B ⋅ d l = ∫ 0 2 π B 0 e − 1 R 2 d θ = 2 π R 2 B 0 e − 1 = α e 2 π B 0 アンペールの法則より、全電流 I I I
I = 1 μ 0 ∮ C B ⋅ d l = 2 π B 0 μ 0 α e I = \frac{1}{\mu_0} \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \frac{2\pi B_0}{\mu_0 \alpha e} I = μ 0 1 ∮ C B ⋅ d l = μ 0 α e 2 π B 0 与えられた制約数値を代入します。
I = 2 π × ( 1.37 × 10 − 2 ) ( 4 π × 10 − 7 ) × ( 2.50 × 10 3 ) × e = 2 π × 1.37 × 10 − 2 10000 π × 10 − 7 × e = 2.74 π × 10 − 2 10 − 3 π × e = 27.4 e = 274 10 e = 137 5 e \begin{aligned}
I &= \frac{2\pi \times (1.37 \times 10^{-2})}{(4\pi \times 10^{-7}) \times (2.50 \times 10^3) \times e} \\
&= \frac{2\pi \times 1.37 \times 10^{-2}}{10000\pi \times 10^{-7} \times e} \\
&= \frac{2.74 \pi \times 10^{-2}}{10^{-3} \pi \times e} \\
&= \frac{27.4}{e} \\
&= \frac{274}{10 e} \\
&= \frac{137}{5 e} \text{ A}
\end{aligned} I = ( 4 π × 1 0 − 7 ) × ( 2.50 × 1 0 3 ) × e 2 π × ( 1.37 × 1 0 − 2 ) = 10000 π × 1 0 − 7 × e 2 π × 1.37 × 1 0 − 2 = 1 0 − 3 π × e 2.74 π × 1 0 − 2 = e 27.4 = 10 e 274 = 5 e 137 A 設問の形式より、I = X e I = \frac{X}{e} I = e X X = 137 5 X = \frac{137}{5} X = 5 137 A = 137 , B = 5 A = 137, B = 5 A = 137 , B = 5 A + B A + B A + B
A + B = 137 + 5 = 142 A + B = 137 + 5 = 142 A + B = 137 + 5 = 142 解答: 142