減衰振動の解析：重厚防音扉のドアクローザー設計

問題文

次世代の防音室に設置された、自動閉鎖機構（ドアクローザー）付きの重厚なスライドドアの運動を考えます。 このドアは質量 $m$m の質点とみなすことができ、水平な $x$x 軸に沿って1次元的に運動します。ドアが完全に閉まった位置を原点 $x=0$x=0 とし、ドアが開く方向を正の向きとします。

ドアクローザーには、ドアを閉めるためのバネと、閉まる速度を抑え衝撃を和らげるためのオイルダンパーが内蔵されています。ドアの位置を $x$x、速度を $v = \frac{dx}{dt}$v=dtdx​ としたとき、ドアにはバネによる復元力 $-kx$−kx と、ダンパーによる粘性抵抗力 $-\gamma v$−γv のみが水平方向に働きます。レールとの間の摩擦力など、その他の力は一切無視できるものとします。

時刻 $t=0$t=0 に、ドアを $x = x_0$x=x0​ （$x_0 > 0$x0​>0）の位置まで開き、静かに手を放しました（初速度は $0$0）。

実験室の温度を変えることでダンパー内のオイルの粘性が変化し、減衰係数 $\gamma$γ を以下の3つのケースに設定して運動を観測しました。

ケース1（冬場・高粘度）： $\gamma = \gamma_1$γ=γ1​ オイルが硬く、ドアは過減衰の運動をしました。 時刻 $t = \ln 2 \mathrm{\ s}$t=ln2 s におけるドアの位置を $x_1 \mathrm{\ [m]}$x1​ [m] とします。

ケース2（適温・最適調整）： $\gamma = \gamma_2$γ=γ2​ ドアが最も速く、かつ振動せずに閉まる臨界減衰の運動をしました。 時刻 $t = 0.5 \mathrm{\ s}$t=0.5 s におけるドアの位置を $x_2 \mathrm{\ [m]}$x2​ [m] とします。この $x_2$x2​ は定数 $C$C を用いて $x_2 = C e^{-1}$x2​=Ce−1 と表されます（$e$e はネイピア数）。

ケース3（夏場・低粘度）： $\gamma = \gamma_3$γ=γ3​ オイルが柔らかく、ドアは**不足減衰（減衰振動）**の運動をしました。 手を放してから初めてドアが $x=0$x=0 の位置（完全に閉まった位置）を通過する時刻を $t_3 \mathrm{\ [s]}$t3​ [s] とします。この $t_3$t3​ の2乗は、互いに素な自然数 $P, Q$P,Q を用いて $t_3^2 = \frac{P}{Q} \pi^2$t32​=QP​π2 と表されます（$\pi$π は円周率）。

各ケースの力学的な振る舞いを微分方程式から解析し、最終的な数値を求めてください。

制約

• ドアの質量: $m = 100 \mathrm{\ kg}$m=100 kg
• バネ定数: $k = 400 \mathrm{\ N/m}$k=400 N/m
• 初期変位: $x_0 = 0.96 \mathrm{\ m}$x0​=0.96 m
• ケース1の減衰係数: $\gamma_1 = 500 \mathrm{\ N \cdot s/m}$γ1​=500 N⋅s/m
• ケース2の減衰係数: $\gamma_2 = 400 \mathrm{\ N \cdot s/m}$γ2​=400 N⋅s/m
• ケース3の減衰係数: $\gamma_3 = 200 \mathrm{\ N \cdot s/m}$γ3​=200 N⋅s/m

入力形式

各ケースの解析結果から以下の3つの値 $N_1, N_2, N_3$N1​,N2​,N3​ を計算し、その合計値 $N = N_1 + N_2 + N_3$N=N1​+N2​+N3​ を自然数で回答せよ。

• $N_1 = x_1 \times 100$N1​=x1​×100
• $N_2 = C \times 100$N2​=C×100
• $N_3 = P + Q$N3​=P+Q