量子ドットに捕捉されたキャリアの軌道角運動量が誘起する磁場

問題文

3次元空間の直交座標系 $(x,y,z)$(x,y,z) において、原点 $(0,0,0)$(0,0,0) に中心を持つ球対称な等方調和振動子ポテンシャル $V(r) = \frac{1}{2}m^* \omega^2 r^2$V(r)=21​m∗ω2r2 （ただし $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$r=x2+y2+z2​）によって形成される半導体量子ドットを考える。 この量子ドット内に、有効質量 $m^*$m∗ 、電荷 $-q$−q （$q > 0$q>0）を持つ1個のキャリア（電子）が閉じ込められている。

この系における1粒子シュレーディンガー方程式の定常状態のうち、主量子数が $N=1$N=1（基底状態 $N=0$N=0 の1つ上のエネルギー準位）であり、かつ軌道角運動量の $z$z 成分 $\hat{L}_z$L^z​ の固有値が $+\hbar$+ℏ である固有状態を $|\psi\rangle$∣ψ⟩ とする。 この状態 $|\psi\rangle$∣ψ⟩ の波動関数 $\psi(\boldsymbol{r})$ψ(r) は、デカルト座標系における3つの第一励起状態（それぞれ $x, y, z$x,y,z 方向にのみ1つの励起を持つ状態）の適切な複素線形結合によって構成され、全空間で規格化されているものとする。

このキャリアの存在は、空間に確率流れの密度 $\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$j(r) を生じさせる。定常状態における確率流れの密度は、空間的な定常電流密度 $\boldsymbol{i}(\boldsymbol{r}) = -q\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r})$i(r)=−qj(r) と見なすことができる。 この空間に分布する定常電流が、ビオ・サバールの法則に従って原点 $(0,0,0)$(0,0,0) に誘起する磁束密度の大きさを $B$B とする。なお、キャリアのスピン磁気モーメントが誘起する磁場への寄与は無視するものとする。

$B$B の値を求め、指定された入力形式に従って回答せよ。

制約

各物理量の値は以下の通りとする。

• キャリアの有効質量: $m^* = 2.0 \times 10^{-31}\text{ kg}$m∗=2.0×10−31 kg
• キャリアの電荷量: $q = 3.0 \times 10^{-19}\text{ C}$q=3.0×10−19 C
• 調和振動子ポテンシャルの角振動数: $\omega = 1.0 \times 10^{15}\text{ rad/s}$ω=1.0×1015 rad/s
• 換算プランク定数: $\hbar = 1.0 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$ℏ=1.0×10−34 J⋅s
• 真空の透磁率: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m/A}$μ0​=4π×10−7 T⋅m/A

入力形式

求めた原点での磁束密度の大きさ $B \, [\text{T}]$B[T] を用いて、 $\pi B^2 \times 10^4$πB2×104 の値を計算し、自然数で回答せよ。