GSO003 問題9

本問は、古典力学における減衰振動のモデルを定係数2階線形同次微分方程式として立式し、減衰係数 $\gamma$γ の値による解の振る舞い（過減衰、臨界減衰、不足減衰）を厳密に解析する総合問題です。

運動方程式の立式と一般化

質量 $m$m のドアに対する運動方程式は、ニュートンの運動第二法則より次のように立式できます。

$$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - \gamma \frac{dx}{dt}$$mdt2d2x​=−kx−γdtdx​

これを整理すると、

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} + kx = 0$$mdt2d2x​+γdtdx​+kx=0

制約で与えられた定数 $m = 100$m=100, $k = 400$k=400 を代入し、両辺を $100$100 で割ると以下の基本方程式を得ます。

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{\gamma}{100} \frac{dx}{dt} + 4 x = 0$$dt2d2x​+100γ​dtdx​+4x=0

また、共通の初期条件として、時刻 $t=0$t=0 で $x(0) = 0.96$x(0)=0.96, $v(0) = \frac{dx}{dt}(0) = 0$v(0)=dtdx​(0)=0 が与えられています。

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ケース1：過減衰（$\gamma_1 = 500 \mathrm{\ N \cdot s/m}$γ1​=500 N⋅s/m）

$\gamma = 500$γ=500 を基本方程式に代入します。

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 5 \frac{dx}{dt} + 4 x = 0$$dt2d2x​+5dtdx​+4x=0

この微分方程式を解くため、特性方程式 $\lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0$λ2+5λ+4=0 を考えます。 左辺を因数分解すると $(\lambda + 1)(\lambda + 4) = 0$(λ+1)(λ+4)=0 となり、特性根は $\lambda = -1, -4$λ=−1,−4 という異なる2つの実数解を持ちます。これが過減衰の条件です。 したがって、一般解は積分定数 $A_1, A_2$A1​,A2​ を用いて次のように表されます。

$$x(t) = A_1 e^{-t} + A_2 e^{-4t}$$x(t)=A1​e−t+A2​e−4t

これを時間 $t$t で微分し、速度 $v(t)$v(t) を求めます。

$$v(t) = -A_1 e^{-t} - 4A_2 e^{-4t}$$v(t)=−A1​e−t−4A2​e−4t

初期条件 $x(0) = 0.96$x(0)=0.96, $v(0) = 0$v(0)=0 を代入して連立方程式を立てます。

$$A_1 + A_2 = 0.96 \quad \dots \text{①}$$A1​+A2​=0.96…① $$-A_1 - 4A_2 = 0 \quad \dots \text{②}$$−A1​−4A2​=0…②

②より $A_1 = -4A_2$A1​=−4A2​。これを①に代入すると、$-3A_2 = 0.96 \implies A_2 = -0.32$−3A2​=0.96⟹A2​=−0.32 となります。 よって $A_1 = -4 \times (-0.32) = 1.28$A1​=−4×(−0.32)=1.28。 ドアの変位は以下の式で確定します。

$$x(t) = 1.28 e^{-t} - 0.32 e^{-4t}$$x(t)=1.28e−t−0.32e−4t

時刻 $t = \ln 2 \mathrm{\ s}$t=ln2 s における位置 $x_1$x1​ を求めます。 $e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}$e−ln2=eln21​=21​ $e^{-4\ln 2} = e^{\ln(2^{-4})} = \frac{1}{16}$e−4ln2=eln(2−4)=161​ これらを代入して計算します。

$$x_1 = 1.28 \times \frac{1}{2} - 0.32 \times \frac{1}{16} = 0.64 - 0.02 = 0.62 \mathrm{\ [m]}$$x1​=1.28×21​−0.32×161​=0.64−0.02=0.62 [m]

したがって、求める値 $N_1$N1​ は以下の通りです。

$$N_1 = 0.62 \times 100 = 62$$N1​=0.62×100=62

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ケース2：臨界減衰（$\gamma_2 = 400 \mathrm{\ N \cdot s/m}$γ2​=400 N⋅s/m）

$\gamma = 400$γ=400 を代入します。

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 4 \frac{dx}{dt} + 4 x = 0$$dt2d2x​+4dtdx​+4x=0

特性方程式は $\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$λ2+4λ+4=0 となり、$(\lambda + 2)^2 = 0$(λ+2)2=0 より重解 $\lambda = -2$λ=−2 を持ちます。これが臨界減衰の条件です。 重解の場合、一般解は $(B_1 + B_2 t)$(B1​+B2​t) という線形項を伴い、次のように表されます。

$$x(t) = (B_1 + B_2 t) e^{-2t}$$x(t)=(B1​+B2​t)e−2t

速度 $v(t)$v(t) は積の微分法を用いて求めます。

$$v(t) = B_2 e^{-2t} - 2(B_1 + B_2 t) e^{-2t} = (B_2 - 2B_1 - 2B_2 t) e^{-2t}$$v(t)=B2​e−2t−2(B1​+B2​t)e−2t=(B2​−2B1​−2B2​t)e−2t

初期条件を適用します。

$$x(0) = B_1 = 0.96$$x(0)=B1​=0.96 $$v(0) = B_2 - 2B_1 = 0 \implies B_2 = 2 \times 0.96 = 1.92$$v(0)=B2​−2B1​=0⟹B2​=2×0.96=1.92

変位の式が確定します。

$$x(t) = (0.96 + 1.92 t) e^{-2t} = 0.96(1 + 2t) e^{-2t}$$x(t)=(0.96+1.92t)e−2t=0.96(1+2t)e−2t

時刻 $t = 0.5 \mathrm{\ s}$t=0.5 s における位置 $x_2$x2​ を計算します。

$$x_2 = 0.96(1 + 2 \times 0.5) e^{-2 \times 0.5} = 0.96 \times 2 \times e^{-1} = 1.92 e^{-1} \mathrm{\ [m]}$$x2​=0.96(1+2×0.5)e−2×0.5=0.96×2×e−1=1.92e−1 [m]

問題文より $x_2 = C e^{-1}$x2​=Ce−1 であるため、$C = 1.92$C=1.92 となります。 したがって、求める値 $N_2$N2​ は以下の通りです。

$$N_2 = 1.92 \times 100 = 192$$N2​=1.92×100=192

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ケース3：不足減衰（$\gamma_3 = 200 \mathrm{\ N \cdot s/m}$γ3​=200 N⋅s/m）

$\gamma = 200$γ=200 を代入します。

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \frac{dx}{dt} + 4 x = 0$$dt2d2x​+2dtdx​+4x=0

特性方程式は $\lambda^2 + 2\lambda + 4 = 0$λ2+2λ+4=0 となります。二次方程式の解の公式より、

$$\lambda = -1 \pm \sqrt{1^2 - 4} = -1 \pm \sqrt{3}i$$λ=−1±12−4​=−1±3​i

特性根が共役複素数となるこの状態が**不足減衰（減衰振動）**です。 オイラーの公式を用いて実数関数で表現すると、一般解は以下のようになります。

$$x(t) = e^{-t} (D_1 \cos\sqrt{3}t + D_2 \sin\sqrt{3}t)$$x(t)=e−t(D1​cos3​t+D2​sin3​t)

速度 $v(t)$v(t) を求めます。

$$v(t) = -e^{-t} (D_1 \cos\sqrt{3}t + D_2 \sin\sqrt{3}t) + e^{-t} (-\sqrt{3}D_1 \sin\sqrt{3}t + \sqrt{3}D_2 \cos\sqrt{3}t)$$v(t)=−e−t(D1​cos3​t+D2​sin3​t)+e−t(−3​D1​sin3​t+3​D2​cos3​t)

初期条件を適用します。

$$x(0) = D_1 = 0.96$$x(0)=D1​=0.96 $$v(0) = -D_1 + \sqrt{3}D_2 = 0 \implies D_2 = \frac{D_1}{\sqrt{3}} = \frac{0.96}{\sqrt{3}}$$v(0)=−D1​+3​D2​=0⟹D2​=3​D1​​=3​0.96​

変位の式が確定します。

$$x(t) = e^{-t} \left( 0.96 \cos\sqrt{3}t + \frac{0.96}{\sqrt{3}} \sin\sqrt{3}t \right)$$x(t)=e−t(0.96cos3​t+3​0.96​sin3​t)

手を放してから初めて $x=0$x=0 となる時刻 $t_3$t3​ を求めます。$e^{-t} > 0$e−t>0 であるため、括弧の中身が $0$0 になる条件を考えます。

$$0.96 \cos\sqrt{3}t_3 + \frac{0.96}{\sqrt{3}} \sin\sqrt{3}t_3 = 0$$0.96cos3​t3​+3​0.96​sin3​t3​=0

両辺を $0.96$0.96 で割り、$\sqrt{3}$3​ を掛けます。

$$\sqrt{3} \cos\sqrt{3}t_3 + \sin\sqrt{3}t_3 = 0$$3​cos3​t3​+sin3​t3​=0

ここで $\cos\sqrt{3}t_3 = 0$cos3​t3​=0 と仮定すると $\sin\sqrt{3}t_3 = \pm 1$sin3​t3​=±1 となり上式を満たさないため、$\cos\sqrt{3}t_3 \neq 0$cos3​t3​=0 です。両辺を $\cos\sqrt{3}t_3$cos3​t3​ で割ります。

$$\sqrt{3} + \tan\sqrt{3}t_3 = 0 \implies \tan\sqrt{3}t_3 = -\sqrt{3}$$3​+tan3​t3​=0⟹tan3​t3​=−3​

$t_3 > 0$t3​>0 においてこれを満たす最小の角度は $\sqrt{3}t_3 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$3​t3​=π−3π​=32π​ です。

$$t_3 = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \mathrm{\ [s]}$$t3​=33​2π​ [s]

これを2乗します。

$$t_3^2 = \frac{4\pi^2}{27} = \frac{4}{27} \pi^2$$t32​=274π2​=274​π2

問題文より $t_3^2 = \frac{P}{Q} \pi^2$t32​=QP​π2 であり、$4$4 と $27$27 は互いに素な自然数であるため、$P = 4$P=4, $Q = 27$Q=27 と確定します。 したがって、求める値 $N_3$N3​ は以下の通りです。

$$N_3 = 4 + 27 = 31$$N3​=4+27=31

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最終解答

各ケースから得られた値を合算します。

$$N = N_1 + N_2 + N_3 = 62 + 192 + 31 = 285$$N=N1​+N2​+N3​=62+192+31=285

最終的な自然数は 285 となります。