トムソンの実験と厳密な軌道幾何学

問題文

3次元直交座標系 $(x, y, z)$(x,y,z) の空間において、初速を持たない電子（質量 $m$m、電荷 $-e$−e、$e > 0$e>0）を電位差 $V$V で加速し、原点 $(0, 0, 0)$(0,0,0) から $+x$+x 方向へ初速 $v_0$v0​ で入射させる実験を行う。重力の影響および相対論的効果は無視できるものとする。

ステップ1：速度の選択 領域 $0 \le x \le L$0≤x≤L に、一様な電場 $\vec{E} = (0, E_0, 0)$E=(0,E0​,0) と一様な磁場 $\vec{B} = (0, 0, B_0)$B=(0,0,B0​) を同時に印加したところ、入射した電子は一切偏向されず、$x$x 軸上を直進した。

ステップ2：磁場による偏向 次に、電場のみを切り（$\vec{E} = \vec{0}$E=0）、磁場 $\vec{B}$B はそのままにした状態で、同じ初速 $v_0$v0​ の電子を原点から入射させた。電子は領域 $0 \le x \le L$0≤x≤L で磁場からローレンツ力を受けて $xy$xy 平面内を曲線軌道を描いて進み、座標 $x = L$x=L の面から磁場領域を脱出した。

ステップ3：無磁場空間の飛行 領域 $x > L$x>L は電場も磁場も存在しないドリフト空間である。磁場領域を脱出した電子は直進し、$x = L + D$x=L+D に置かれた $yz$yz 平面に平行な蛍光スクリーンに到達した。 このとき、スクリーン上での電子の到達点の $y$y 座標を変位 $Y$Y として観測した。

実験装置は厳密に調整されており、ドリフト空間の長さは $D = \sqrt{3}L$D=3​L である。 また、スクリーン上で観測された変位を測定したところ、厳密に $Y = (3 - \sqrt{3})L$Y=(3−3​)L であった。

この結果から、電子の比電荷 $e/m$e/m を求めよ。 ただし、微小角近似（$\sin\theta \approx \theta$sinθ≈θ や $y \approx L^2/(2R)$y≈L2/(2R) など）は一切用いず、厳密な幾何学的関係から導出すること。

制約

各物理量には以下の厳密な数値が設定されている。

• 一様電場の強さ： $E_0 = 1.76 \times 10^4 \ \mathrm{V/m}$E0​=1.76×104 V/m
• 一様磁場の磁束密度： $B_0 = 1.0 \times 10^{-3} \ \mathrm{T}$B0​=1.0×10−3 T
• 磁場領域の長さ： $L = 5.0 \times 10^{-2} \ \mathrm{m}$L=5.0×10−2 m

入力形式

電子の比電荷 $e/m$e/m は、ある実数 $A$A を用いて $A \times 10^{11} \ \mathrm{C/kg}$A×1011 C/kg の形で表される。 $A$A の値を100倍した自然数を回答せよ。