【深海探査】未知の液体の絶対屈折率と分散センサー

問題文

未知の海洋惑星において、深海を満たす特殊な液体（以下、液体F）の光学的な性質を調べるため、特殊な光学結晶でできたセンサーが沈められた。 このセンサーの要となるのは、断面が正三角形 $\text{PQR}$PQR （頂角 $\angle \text{P} = 60^\circ$∠P=60∘）の形状をしたプリズムである。プリズムは液体Fの中に完全に水没している。

探査船から液体F中へ向けてレーザー光を発射し、プリズムの面 $\text{PQ}$PQ （第1面）に入射させる。入射した光は屈折してプリズム内部を進み、面 $\text{PR}$PR （第2面）に到達する。 この結晶の絶対屈折率は、入射する光の波長によって異なる値（分散）を示すが、液体Fの絶対屈折率 $n_f$nf​ は可視光の波長域において一定であると仮定する。

以下の2つの実験を行った。

【実験1：青色光の照射】 青色光を用いたとき、結晶の絶対屈折率は $n_{cB}$ncB​ であった。面 $\text{PQ}$PQ への入射角 $\theta_0$θ0​ を $0^\circ$0∘ から徐々に大きくしていったところ、幾何学的な関係から、面 $\text{PR}$PR への入射角は逆に徐々に小さくなっていった。そして、面 $\text{PQ}$PQ での入射角が $\theta_{0B}$θ0B​ に達した瞬間に、面 $\text{PR}$PR に到達した光の入射角が全反射の臨界角まで小さくなり、面 $\text{PR}$PR から液体F中へ透過光が現れ始めた。

【実験2：赤色光の照射】 赤色光を用いたとき、結晶の絶対屈折率は $n_{cR}$ncR​ であった。青色光のときと同様に、面 $\text{PQ}$PQ への入射角を $0^\circ$0∘ から大きくしていき、面 $\text{PR}$PR から透過光が現れ始めた（全反射の限界に達した）瞬間の面 $\text{PQ}$PQ への入射角を $\theta_{0R}$θ0R​ とした。

光の進行はすべて正三角形 $\text{PQR}$PQR を含む同一平面上で行われるものとし、液体Fの絶対屈折率 $n_f$nf​ は真空の絶対屈折率 $1$1 より大きく、かつ $n_{cB}, n_{cR}$ncB​,ncR​ よりも小さいものとする。 このとき、赤色光の面 $\text{PQ}$PQ での入射角の正弦 $\sin \theta_{0R}$sinθ0R​ を求めよ。

制約

• プリズムの頂角: $\angle \text{P} = 60^\circ$∠P=60∘
• 青色光に対する結晶の絶対屈折率: $n_{cB} = 2.8$ncB​=2.8 （無次元量）
• 赤色光に対する結晶の絶対屈折率: $n_{cR} = 2.5$ncR​=2.5 （無次元量）
• 青色光における境界の入射角 $\theta_{0B}$θ0B​ の条件: $\sin \theta_{0B} = 0.6$sinθ0B​=0.6
• 面 $\text{PQ}$PQ における入射角 $\theta_0$θ0​ は、法線から測った角度とする（$0^\circ \le \theta_0 < 90^\circ$0∘≤θ0​<90∘）。
• 液体Fの絶対屈折率 $n_f$nf​ は波長に依存しない一定値。

入力形式

求められた $\sin \theta_{0R}$sinθ0R​ の値は、以下の分母を有理化した形式で表される。

$$\sin \theta_{0R} = \frac{\sqrt{A} - B}{C}$$sinθ0R​=CA​−B​

ここで、$A, B, C$A,B,C は自然数（正の整数）であり、$A, B, C$A,B,C の最大公約数は $1$1 である。また、$A$A は $1$1 より大きい平方因数を持たない（ルートの中身が最も簡単な状態になっている）。 このとき、$A \times B \times C$A×B×C の値を半角数字で解答せよ。