ばねとストッパーを備えたピストンの熱力学サイクル

問題文

断面積$S$Sのなめらかに動く質量が無視できるピストンを持つ円筒形シリンダーが、鉛直上向きに固定されている。シリンダー内には単原子分子理想気体が封入されている。シリンダーの外部の気圧（大気圧）は$P_0$P0​で一定である。 ピストンの上方には、ばね定数$k$kのばねが鉛直に取り付けられている。このばねの上端は固定されており、下端はピストンが基準位置にあるときに、自然長の状態でピストンの上面にちょうど触れるようになっている。なお、ばね定数$k$kは、$k = \frac{2P_0S^2}{3V_0}$k=3V0​2P0​S2​を満たすように調整されている。

この気体に対して、以下の過程からなる熱力学サイクル（状態A $\to$→ 状態B $\to$→ 状態C $\to$→ 状態A）を行わせた。

• 状態A: 気体の体積は$V_0$V0​、圧力は$P_0$P0​であり、ピストンは静止している。このとき、ばねは自然長でピストンにちょうど触れている。
• 過程A $\to$→ B: 気体にゆっくりと熱を与えたところ、気体は膨張してピストンが上昇し、ばねを押し縮めた。気体の体積が$4V_0$4V0​になったところで加熱を止め、この状態を状態Bとした。
• 過程B $\to$→ C: 状態Bにおいて、ピストンの位置が動かないようにストッパーを挿入して固定した。その後、気体からゆっくりと熱を奪い、気体の圧力が$P_0$P0​に下がったところで放熱を止め、この状態を状態Cとした。
• 過程C $\to$→ A: 状態Cにおいて、ピストンの位置を保持したまま、ばねをピストンから静かに取り外した。その後、ストッパーを外し、気体の圧力が常に大気圧$P_0$P0​と釣り合うようにしながら気体からゆっくりと熱を奪い、体積を$V_0$V0​に戻して状態Aに復帰させた。

この1サイクルの熱効率$e$eを求めよ。

制約

• 大気圧: $P_0 = 1.0 \times 10^5\mathrm{Pa}$P0​=1.0×105Pa
• 状態Aにおける気体の体積: $V_0 = 1.0 \times 10^{-3}\mathrm{m^3}$V0​=1.0×10−3m3
• シリンダーの断面積: $S = 1.0 \times 10^{-2}\mathrm{m^2}$S=1.0×10−2m2
• ばね定数: $k = \frac{2P_0S^2}{3V_0} = \frac{20000}{3}\mathrm{N/m}$k=3V0​2P0​S2​=320000​N/m
• 気体定数: $R = 8.31\mathrm{J/(mol\cdot K)}$R=8.31J/(mol⋅K)

入力形式

この熱機関の熱効率$e$eは、既約分数$\frac{a}{b}$ba​（$a, b$a,bは互いに素な自然数）として表される。 $a+b$a+bの値を計算し、自然数で回答せよ。