GSO003 問題5

本問は、スネルの法則と全反射の臨界角の条件を用い、波長による屈折率の違い（分散）から未知の液体の絶対屈折率を逆算する、解析的な幾何光学の問題です。

1. プリズム内の幾何学的関係の整理

まず、波長によらず成り立つ一般的な関係式を立式します。 面 $\text{PQ}$PQ における入射角を $\theta_0$θ0​、屈折角を $\theta_1$θ1​ とします。スネルの法則より、以下の関係が成り立ちます。

$$n_f \sin \theta_0 = n_c \sin \theta_1 \quad \cdots \text{(1)}$$nf​sinθ0​=nc​sinθ1​⋯(1)

（ここで $n_c$nc​ はその波長における結晶の絶対屈折率です）

次に、光がプリズム内部を進み、面 $\text{PR}$PR に入射する際の入射角を $\theta_2$θ2​ とします。 プリズムの頂角が $\angle \text{P} = 60^\circ$∠P=60∘ であり、光線の経路と法線が作る幾何学的な関係（四角形の内角の和、または三角形の外角の定理）から、常に以下の式が成り立ちます。

$$\theta_1 + \theta_2 = 60^\circ \quad \implies \quad \theta_2 = 60^\circ - \theta_1 \quad \cdots \text{(2)}$$θ1​+θ2​=60∘⟹θ2​=60∘−θ1​⋯(2)

この式から、入射角 $\theta_0$θ0​ を大きくして $\theta_1$θ1​ が大きくなると、面 $\text{PR}$PR への入射角 $\theta_2$θ2​ は小さくなっていくことがわかります。

面 $\text{PR}$PR から透過光が現れ始める瞬間は、ちょうど全反射の臨界角に一致する状態（屈折角が $90^\circ$90∘）です。光は絶対屈折率 $n_c$nc​ の結晶から絶対屈折率 $n_f$nf​ の液体へ向かおうとするため、スネルの法則より以下が成り立ちます。

$$n_c \sin \theta_2 = n_f \sin 90^\circ \quad \implies \quad \sin \theta_2 = \frac{n_f}{n_c} \quad \cdots \text{(3)}$$nc​sinθ2​=nf​sin90∘⟹sinθ2​=nc​nf​​⋯(3)

2. 青色光の条件からの $n_f$nf​ の導出

実験1（青色光）の条件を式 (1), (2), (3) に代入し、液体Fの絶対屈折率 $n_f$nf​ を求めます。 与えられた値は $n_{cB} = 2.8 = \frac{14}{5}$ncB​=2.8=514​、$\sin \theta_{0B} = 0.6 = \frac{3}{5}$sinθ0B​=0.6=53​ です。

式 (1) より、面 $\text{PQ}$PQ での屈折角 $\theta_{1B}$θ1B​ の正弦は、

$$n_f \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{5} \sin \theta_{1B} \quad \implies \quad \sin \theta_{1B} = \frac{3}{14} n_f$$nf​⋅53​=514​sinθ1B​⟹sinθ1B​=143​nf​

式 (3) より、面 $\text{PR}$PR での臨界入射角 $\theta_{2B}$θ2B​ の正弦は、

$$\sin \theta_{2B} = \frac{n_f}{14/5} = \frac{5}{14} n_f$$sinθ2B​=14/5nf​​=145​nf​

式 (2) より $\theta_{2B} = 60^\circ - \theta_{1B}$θ2B​=60∘−θ1B​ であるため、両辺の正弦をとって加法定理を適用します。

$$\sin \theta_{2B} = \sin(60^\circ - \theta_{1B}) = \sin 60^\circ \cos \theta_{1B} - \cos 60^\circ \sin \theta_{1B}$$sinθ2B​=sin(60∘−θ1B​)=sin60∘cosθ1B​−cos60∘sinθ1B​

ここに $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$sin60∘=23​​、$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$cos60∘=21​、および $\cos \theta_{1B} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{1B}}$cosθ1B​=1−sin2θ1B​​ を代入します。

$$\frac{5}{14} n_f = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \left(\frac{3}{14} n_f\right)^2} - \frac{1}{2} \left(\frac{3}{14} n_f\right)$$145​nf​=23​​1−(143​nf​)2​−21​(143​nf​)

右辺の第二項を左辺に移項して整理します。

$$\frac{5}{14} n_f + \frac{3}{28} n_f = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{9 n_f^2}{196}}$$145​nf​+283​nf​=23​​1−1969nf2​​​ $$\frac{13}{28} n_f = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{196 - 9 n_f^2}{196}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 14} \sqrt{196 - 9 n_f^2} = \frac{\sqrt{3}}{28} \sqrt{196 - 9 n_f^2}$$2813​nf​=23​​196196−9nf2​​​=2×143​​196−9nf2​​=283​​196−9nf2​​

両辺に $28$28 を掛けて分母を払います。

$$13 n_f = \sqrt{3} \sqrt{196 - 9 n_f^2}$$13nf​=3​196−9nf2​​

両辺を2乗して $n_f$nf​ について解きます（$n_f > 0$nf​>0 より同値性は保たれます）。

$$169 n_f^2 = 3(196 - 9 n_f^2)$$169nf2​=3(196−9nf2​) $$169 n_f^2 = 588 - 27 n_f^2$$169nf2​=588−27nf2​ $$196 n_f^2 = 588$$196nf2​=588 $$n_f^2 = \frac{588}{196} = 3 \quad \implies \quad n_f = \sqrt{3}$$nf2​=196588​=3⟹nf​=3​

これにより、未知の液体Fの絶対屈折率が $n_f = \sqrt{3}$nf​=3​ であることが判明しました。

3. 赤色光における $\sin \theta_{0R}$sinθ0R​ の算出

次に、得られた $n_f = \sqrt{3}$nf​=3​ を用いて実験2（赤色光）を解析します。 赤色光における結晶の絶対屈折率は $n_{cR} = 2.5 = \frac{5}{2}$ncR​=2.5=25​ です。

式 (3) より、面 $\text{PR}$PR における臨界入射角 $\theta_{2R}$θ2R​ は以下のようになります。

$$\sin \theta_{2R} = \frac{n_f}{n_{cR}} = \frac{\sqrt{3}}{5/2} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$$sinθ2R​=ncR​nf​​=5/23​​=523​​

このとき、$\cos \theta_{2R}$cosθ2R​ は次のように求まります。

$$\cos \theta_{2R} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{2R}} = \sqrt{1 - \frac{12}{25}} = \sqrt{\frac{13}{25}} = \frac{\sqrt{13}}{5}$$cosθ2R​=1−sin2θ2R​​=1−2512​​=2513​​=513​​

式 (2) より、面 $\text{PQ}$PQ における屈折角 $\theta_{1R}$θ1R​ は $\theta_{1R} = 60^\circ - \theta_{2R}$θ1R​=60∘−θ2R​ です。再び加法定理を用いて $\sin \theta_{1R}$sinθ1R​ を求めます。

$$\sin \theta_{1R} = \sin(60^\circ - \theta_{2R}) = \sin 60^\circ \cos \theta_{2R} - \cos 60^\circ \sin \theta_{2R}$$sinθ1R​=sin(60∘−θ2R​)=sin60∘cosθ2R​−cos60∘sinθ2R​ $$\sin \theta_{1R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}}{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{5} = \frac{\sqrt{39}}{10} - \frac{2\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{39} - 2\sqrt{3}}{10}$$sinθ1R​=23​​⋅513​​−21​⋅523​​=1039​​−1023​​=1039​−23​​

最後に、式 (1) を用いて面 $\text{PQ}$PQ での入射角 $\theta_{0R}$θ0R​ を求めます。

$$n_f \sin \theta_{0R} = n_{cR} \sin \theta_{1R}$$nf​sinθ0R​=ncR​sinθ1R​ $$\sqrt{3} \sin \theta_{0R} = \frac{5}{2} \left( \frac{\sqrt{39} - 2\sqrt{3}}{10} \right) = \frac{\sqrt{39} - 2\sqrt{3}}{4}$$3​sinθ0R​=25​(1039​−23​​)=439​−23​​

両辺を $\sqrt{3}$3​ で割ります。

$$\sin \theta_{0R} = \frac{\sqrt{13} - 2}{4}$$sinθ0R​=413​−2​

4. 最終解答

求められた値は $\frac{\sqrt{13} - 2}{4}$413​−2​ です。 指定された形式 $\frac{\sqrt{A} - B}{C}$CA​−B​ と比較すると、

• $A = 13$A=13 （$1$1 より大きい平方因数を持たない）
• $B = 2$B=2
• $C = 4$C=4

これら3つの数の最大公約数は $1$1 であり、条件を満たしています。 求める積は $A \times B \times C = 13 \times 2 \times 4 = 104$A×B×C=13×2×4=104 となります。

解答: 104