GSO003 問題6

本問は、ばねの弾性力が関与する気体の状態変化と、それらを組み合わせた熱力学サイクルにおける熱効率を求める問題です。各過程における気体の圧力$P$Pと体積$V$Vの関係を明らかにし、$P-V$P−Vグラフ上の面積から仕事を、熱力学第一法則から吸収・放出する熱量を計算していきます。

1. 各状態における気体の圧力と体積の導出

【状態A】 問題文より、気体の体積は$V_A = V_0$VA​=V0​、圧力は$P_A = P_0$PA​=P0​です。

【状態B】 過程A $\to$→ Bにおいて、気体の体積が$V$Vになったときのピストンの上昇距離（ばねの縮み）を$x$xとします。体積の増加分はシリンダーの断面積$S$Sと$x$xを用いて以下のように表せます。

$$V - V_0 = Sx \implies x = \frac{V - V_0}{S}$$V−V0​=Sx⟹x=SV−V0​​

このとき、質量無視のピストンに働く鉛直方向の力のつり合いを考えます。上向きに気体の圧力による力$PS$PS、下向きに大気圧による力$P_0S$P0​Sとばねの弾性力$kx$kxが働きます。

$$PS = P_0S + kx$$PS=P0​S+kx

これに$x$xの式を代入して整理すると、過程A $\to$→ Bにおける圧力$P$Pと体積$V$Vの関係式が得られます。

$$P = P_0 + \frac{k}{S^2}(V - V_0)$$P=P0​+S2k​(V−V0​)

状態Bでは体積が$V_B = 4V_0$VB​=4V0​に達します。問題の条件より$k = \frac{2P_0S^2}{3V_0}$k=3V0​2P0​S2​であるため、これを代入して状態Bの圧力$P_B$PB​を求めます。

$$P_B = P_0 + \frac{2P_0S^2}{3V_0S^2}(4V_0 - V_0) = P_0 + \frac{2P_0}{3V_0} \times 3V_0 = P_0 + 2P_0 = 3P_0$$PB​=P0​+3V0​S22P0​S2​(4V0​−V0​)=P0​+3V0​2P0​​×3V0​=P0​+2P0​=3P0​

【状態C】 過程B $\to$→ Cはピストンを固定した定容変化であるため、体積は$V_C = 4V_0$VC​=4V0​のままです。冷却によって圧力が$P_0$P0​に下がったとあるため、圧力は$P_C = P_0$PC​=P0​です。

2. 各過程における仕事と熱量の計算

熱力学第一法則$\Delta U = Q_{in} - W_{out}$ΔU=Qin​−Wout​より、気体が吸収した熱量$Q_{in}$Qin​は$Q_{in} = \Delta U + W_{out}$Qin​=ΔU+Wout​となります。単原子分子理想気体の内部エネルギーは$U = \frac{3}{2}PV$U=23​PVと表せることを利用します。

【過程A $\to$→ B（吸熱過程）】 $P-V$P−Vグラフ上で、状態A$(V_0, P_0)$(V0​,P0​)と状態B$(4V_0, 3P_0)$(4V0​,3P0​)を結ぶ直線になります。気体が外部にした仕事$W_{AB}$WAB​は、この直線の下部の台形の面積に等しくなります。

$$W_{AB} = \frac{1}{2} (P_A + P_B) (V_B - V_A) = \frac{1}{2} (P_0 + 3P_0) (4V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \times 4P_0 \times 3V_0 = 6P_0V_0$$WAB​=21​(PA​+PB​)(VB​−VA​)=21​(P0​+3P0​)(4V0​−V0​)=21​×4P0​×3V0​=6P0​V0​

内部エネルギーの変化量$\Delta U_{AB}$ΔUAB​は以下の通りです。

$$\Delta U_{AB} = \frac{3}{2} (P_BV_B - P_AV_A) = \frac{3}{2} (3P_0 \cdot 4V_0 - P_0V_0) = \frac{3}{2} (11P_0V_0) = \frac{33}{2}P_0V_0 = 16.5P_0V_0$$ΔUAB​=23​(PB​VB​−PA​VA​)=23​(3P0​⋅4V0​−P0​V0​)=23​(11P0​V0​)=233​P0​V0​=16.5P0​V0​

したがって、この過程で気体が吸収した熱量$Q_{AB}$QAB​は、

$$Q_{AB} = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 16.5P_0V_0 + 6P_0V_0 = 22.5P_0V_0 = \frac{45}{2}P_0V_0$$QAB​=ΔUAB​+WAB​=16.5P0​V0​+6P0​V0​=22.5P0​V0​=245​P0​V0​

（※ $P, V$P,Vがともに単調増加しているため、この過程では常に熱を吸収し続けています）

【過程B $\to$→ C（放熱過程）】 定容変化のため、気体が外部にする仕事$W_{BC} = 0$WBC​=0です。 内部エネルギーの変化量$\Delta U_{BC}$ΔUBC​は、

$$\Delta U_{BC} = \frac{3}{2} (P_CV_C - P_BV_B) = \frac{3}{2} (P_0 \cdot 4V_0 - 3P_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2} (-8P_0V_0) = -12P_0V_0$$ΔUBC​=23​(PC​VC​−PB​VB​)=23​(P0​⋅4V0​−3P0​⋅4V0​)=23​(−8P0​V0​)=−12P0​V0​

$Q_{BC} = -12P_0V_0$QBC​=−12P0​V0​となり、これは放熱過程であることを示しています。

【過程C $\to$→ A（放熱過程）】 ばねが外され、常に大気圧$P_0$P0​と等しい圧力を保ちながら収縮する定圧変化です。 気体が外部にした仕事$W_{CA}$WCA​は、

$$W_{CA} = P_A (V_A - V_C) = P_0 (V_0 - 4V_0) = -3P_0V_0$$WCA​=PA​(VA​−VC​)=P0​(V0​−4V0​)=−3P0​V0​

内部エネルギーの変化量$\Delta U_{CA}$ΔUCA​は、

$$\Delta U_{CA} = \frac{3}{2} (P_AV_A - P_CV_C) = \frac{3}{2} (P_0V_0 - P_0 \cdot 4V_0) = \frac{3}{2} (-3P_0V_0) = -4.5P_0V_0$$ΔUCA​=23​(PA​VA​−PC​VC​)=23​(P0​V0​−P0​⋅4V0​)=23​(−3P0​V0​)=−4.5P0​V0​

$Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} = -4.5P_0V_0 - 3P_0V_0 = -7.5P_0V_0$QCA​=ΔUCA​+WCA​=−4.5P0​V0​−3P0​V0​=−7.5P0​V0​となり、これも放熱過程です。

3. 熱効率の算出

1サイクルを通じて気体が外部にした正味の仕事$W_{net}$Wnet​は、各過程の仕事の和（または$P-V$P−Vグラフ上のサイクルの閉曲線が囲む面積）となります。

$$W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 6P_0V_0 + 0 - 3P_0V_0 = 3P_0V_0$$Wnet​=WAB​+WBC​+WCA​=6P0​V0​+0−3P0​V0​=3P0​V0​

1サイクルにおいて気体が吸収した総熱量$Q_{in}$Qin​は、吸熱過程であるA $\to$→ Bで吸収した熱量のみをカウントします。

$$Q_{in} = Q_{AB} = \frac{45}{2}P_0V_0$$Qin​=QAB​=245​P0​V0​

熱機関の熱効率$e$eは、吸収した熱量に対する正味の仕事の割合なので、

$$e = \frac{W_{net}}{Q_{in}} = \frac{3P_0V_0}{\frac{45}{2}P_0V_0} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$$e=Qin​Wnet​​=245​P0​V0​3P0​V0​​=456​=152​

熱効率は既約分数$\frac{2}{15}$152​として求められました。 したがって、$a = 2, b = 15$a=2,b=15となり、$a+b = 2 + 15 = 17$a+b=2+15=17が最終的な解答となります。

最終解答: 17