ケルビン水滴発電機の誘導リングとアクリルスリーブの分極

問題文

ケルビン水滴発電機の片側の誘導部を、次のように理想化する。

鉛直下向きに流れる水の細い柱を半径 $a$a の導体円柱とみなし、この水柱は水滴がちぎれる直前まで接地されている。水柱のまわりには、同軸に金属製の誘導リングが置かれており、誘導リングは半径 $b$b、有効長 $L$L の薄い導体円筒とみなせる。誘導リングは接地された水柱に対して電位差 $V$V だけ高い電位に保たれている。

水柱と誘導リングの間には、半径 $a$a から半径 $c$c まで空気があり、半径 $c$c から半径 $b$b まで一様なアクリル製の円筒スリーブが入っている。アクリルスリーブは誘導リングと同じ有効長 $L$L をもち、誘導リングと同じ軸を共有している。アクリルの比誘電率を $\varepsilon_r$εr​ とする。端効果は無視し、電場は半径方向のみを向くものとする。

ただし、正の変数 $r$r について、次の積分公式を用いてよい。

$$\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r}\,dr=\ln\frac{r_2}{r_1} \quad (0<r_1<r_2)$$∫r1​r2​​r1​dr=lnr1​r2​​(0<r1​<r2​)

また、半径 $r$r、誘電率 $\varepsilon$ε の同軸円筒状の空間で、内側導体表面に誘導される自由電荷の線密度の大きさが $\lambda$λ であるとき、電場の大きさは

$$E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}$$E(r)=2πεrλ​

と表されるものとする。

水柱は接地されているため、誘導リングの電位によって水柱表面には自由電荷が誘導される。水滴がちぎれる瞬間、その水滴は、長さ $L$L の水柱部分に誘導されていた自由電荷と同じ大きさの電荷を持って落下するとする。

また、同じ装置からアクリルスリーブを取り外し、半径 $a$a から半径 $b$b までをすべて空気にした場合に、同じ電位差 $V$V で水滴が持つ電荷の大きさを $q_0$q0​ とする。一方、アクリルスリーブを入れた場合に、アクリルスリーブの内側表面全体に現れる束縛電荷の大きさを $Q_{\mathrm{b}}$Qb​ とする。

比

$$X=\frac{Q_{\mathrm{b}}}{q_0}$$X=q0​Qb​​

を既約分数で表したときの分子と分母の和を求めよ。

制約

• $a=1.20\times 10^{-3}\,\mathrm{m}$a=1.20×10−3m
• $c=2.40\times 10^{-3}\,\mathrm{m}$c=2.40×10−3m
• $b=9.60\times 10^{-3}\,\mathrm{m}$b=9.60×10−3m
• $L=3.00\times 10^{-2}\,\mathrm{m}$L=3.00×10−2m
• $V=450\,\mathrm{V}$V=450V
• $\varepsilon_r=3.00$εr​=3.00
• $\varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ε0​=8.85×10−12F/m

入力形式

$X=Q_{\mathrm{b}}/q_0$X=Qb​/q0​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したとき、$p+q$p+q を入力せよ。