有効質量が跳ぶ階段型ポテンシャルにおける反射率と透過率

問題文

$x$x 軸上を運動する非相対論的な粒子を考える。粒子は半導体ヘテロ界面を通過し、界面を $x=0$x=0 とする。界面の左側 $x<0$x<0 では有効質量が $m_{\mathrm{L}}$mL​、ポテンシャルエネルギーが $0$0 であり、右側 $x>0$x>0 では有効質量が $m_{\mathrm{R}}$mR​、ポテンシャルエネルギーが $V_0$V0​ である。

この系のハミルトニアンは、位置依存有効質量をもつ一次元量子系として

$$\hat{H}\psi = -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{m(x)}\frac{d\psi}{dx} \right) + V(x)\psi$$H^ψ=−2ℏ2​dxd​(m(x)1​dxdψ​)+V(x)ψ

で与えられるとする。ただし

$$m(x)= \begin{cases} m_{\mathrm{L}} & (x<0),\\ m_{\mathrm{R}} & (x>0), \end{cases} \qquad V(x)= \begin{cases} 0 & (x<0),\\ V_0 & (x>0). \end{cases}$$m(x)={mL​mR​​(x<0),(x>0),​V(x)={0V0​​(x<0),(x>0).​

エネルギー $E$E をもつ定常状態を考え、$E>V_0$E>V0​ とする。粒子は左側から入射し、左側には入射波と反射波、右側には右向きの透過波だけが存在するものとする。

波動関数を

$$\psi_{\mathrm{L}}(x) = A e^{ik_{\mathrm{L}}x} + B e^{-ik_{\mathrm{L}}x} \qquad (x<0)$$ψL​(x)=AeikL​x+Be−ikL​x(x<0) $$\psi_{\mathrm{R}}(x) = C e^{ik_{\mathrm{R}}x} \qquad (x>0)$$ψR​(x)=CeikR​x(x>0)

とおく。

このとき、界面で満たすべき境界条件をハミルトニアンから導き、その境界条件を用いて反射率 $R$R と透過率 $T$T を求めよ。

制約

• $\hbar=1.054571817\times 10^{-34}\ {\rm J\,s}$ℏ=1.054571817×10−34 Js
• $m_{\mathrm{L}}=1.8218767403\times 10^{-31}\ {\rm kg}$mL​=1.8218767403×10−31 kg
• $m_{\mathrm{R}}=9.1093837015\times 10^{-32}\ {\rm kg}$mR​=9.1093837015×10−32 kg
• $E=1.4419589706\times 10^{-19}\ {\rm J}$E=1.4419589706×10−19 J
• $V_0=1.1215236438\times 10^{-19}\ {\rm J}$V0​=1.1215236438×10−19 J

入力形式

求めた反射率 $R$R と透過率 $T$T をそれぞれ既約分数

$$R=\frac{p}{q}, \qquad T=\frac{r}{s}$$R=qp​,T=sr​

で表す。ただし $p,q,r,s$p,q,r,s は自然数である。

最終的に

$$p+q+r+s$$p+q+r+s

を入力せよ。