GSO006 問題7

装置の物理的な見方

ケルビン水滴発電機では、水滴がちぎれる前の水柱が周囲の導体から静電誘導を受けます。水柱が接地されていれば、電荷は接地線を通して移動できるため、水柱表面には誘導リングの電位に応じた自由電荷が現れます。

この問題では、誘導リングが水柱より高い電位にあるので、電場は外側の誘導リングから内側の水柱へ向かいます。したがって、水柱表面に誘導される自由電荷は負です。ただし、問題で扱う $q_0$q0​ や $Q_{\mathrm{b}}$Qb​ は電荷の大きさなので、以下では線電荷密度の大きさを用いて計算します。

水滴は誘導リングや空間から直接電荷を受け取るのではありません。水柱が接地されている間に、水柱先端付近へ静電誘導によって自由電荷が集まり、水滴がちぎれると、その誘導された電荷を持ち去ると考えます。

また、アクリルスリーブは誘電体なので、内部の分子が電場によって分極します。その結果、アクリルスリーブの内側表面と外側表面に束縛電荷が現れます。

アクリルスリーブを入れたときの誘導電荷

水柱に誘導される自由電荷の線密度の大きさを $\lambda$λ とします。

水柱からアクリルの内面まで、つまり $a\le r\le c$a≤r≤c は空気です。空気の誘電率は $\varepsilon_0$ε0​ なので、問題文で与えられた電場の式より、この区間の電場の大きさは

$$E_{\mathrm{air}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$Eair​(r)=2πε0​rλ​

です。

電位差の大きさは、電場の大きさを半径方向に足し合わせることで得られます。問題文で与えられた積分公式を用いると、この区間に生じる電位差の大きさは

$$\int_a^c E_{\mathrm{air}}(r)\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \int_a^c\frac{1}{r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{c}{a}$$∫ac​Eair​(r)dr=2πε0​λ​∫ac​r1​dr=2πε0​λ​lnac​

です。

一方、アクリル内部、つまり $c\le r\le b$c≤r≤b では、誘電率は $\varepsilon_0\varepsilon_r$ε0​εr​ です。したがって、この区間の電場の大きさは

$$E_{\mathrm{d}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r}$$Ed​(r)=2πε0​εr​rλ​

です。よって、この区間に生じる電位差の大きさは

$$\int_c^b E_{\mathrm{d}}(r)\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \int_c^b\frac{1}{r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\ln\frac{b}{c}$$∫cb​Ed​(r)dr=2πε0​εr​λ​∫cb​r1​dr=2πε0​εr​λ​lncb​

です。

この二つの区間の電位差の和が、誘導リングと水柱の電位差 $V$V になります。したがって、

$$V= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{c}{a} + \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\ln\frac{b}{c}$$V=2πε0​λ​lnac​+2πε0​εr​λ​lncb​

です。これをまとめると、

$$V= \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \left\{ \ln\frac{c}{a} + \frac{1}{\varepsilon_r}\ln\frac{b}{c} \right\}$$V=2πε0​λ​{lnac​+εr​1​lncb​}

となります。したがって、アクリルスリーブがあるときの水柱の線電荷密度の大きさは

$$\lambda = \frac{2\pi\varepsilon_0 V} { \ln\frac{c}{a} + \frac{1}{\varepsilon_r}\ln\frac{b}{c} }$$λ=lnac​+εr​1​lncb​2πε0​V​

です。

水滴は長さ $L$L の水柱部分に誘導されていた自由電荷と同じ大きさの電荷を持って落下するとされているので、その電荷の大きさは

$$q=\lambda L$$q=λL

です。

アクリルを取り外したときの水滴の電荷

次に、アクリルスリーブを取り外して、半径 $a$a から半径 $b$b までをすべて空気にした場合を考えます。このときの線電荷密度の大きさを $\lambda_0$λ0​ とします。

半径 $a$a から半径 $b$b までがすべて空気なので、電場の大きさは

$$E_0(r)=\frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0 r}$$E0​(r)=2πε0​rλ0​​

です。問題文で与えられた積分公式を用いると、

$$V= \int_a^b E_0(r)\,dr = \frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0} \int_a^b\frac{1}{r}\,dr = \frac{\lambda_0}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a}$$V=∫ab​E0​(r)dr=2πε0​λ0​​∫ab​r1​dr=2πε0​λ0​​lnab​

です。したがって、

$$\lambda_0= \frac{2\pi\varepsilon_0 V} {\ln\frac{b}{a}}$$λ0​=lnab​2πε0​V​

です。

このとき水滴が持つ電荷の大きさは

$$q_0=\lambda_0 L$$q0​=λ0​L

となります。

アクリル内面の束縛電荷

誘電体中では、分極 $\mathbf{P}$P が電場方向に生じます。線形誘電体では、分極の大きさは

$$P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E_{\mathrm{d}}$$P=ε0​(εr​−1)Ed​

です。

アクリル中の電場の大きさは、すでに求めたように

$$E_{\mathrm{d}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r}$$Ed​(r)=2πε0​εr​rλ​

です。

よって、アクリル中の分極の大きさは

$$P(r) = \varepsilon_0(\varepsilon_r-1) \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r} = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r} \frac{\lambda}{2\pi r}$$P(r)=ε0​(εr​−1)2πε0​εr​rλ​=εr​εr​−1​2πrλ​

です。

アクリルの内側表面は半径 $c$c の円筒面です。そこでの分極の大きさは

$$P(c)= \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r} \frac{\lambda}{2\pi c}$$P(c)=εr​εr​−1​2πcλ​

です。

束縛電荷の面密度の大きさは、表面に垂直な分極の成分の大きさに等しいので、アクリル内側表面全体に現れる束縛電荷の大きさは

$$Q_{\mathrm{b}} = P(c)\cdot 2\pi cL$$Qb​=P(c)⋅2πcL

です。問題文でアクリルスリーブの長さを $L$L と定めているため、ここで表面積 $2\pi cL$2πcL を使えます。よって、

$$Q_{\mathrm{b}} = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\lambda L$$Qb​=εr​εr​−1​λL

となります。

これは、アクリルスリーブが単に電場を弱めるだけでなく、表面に束縛電荷を生じさせることを表しています。

比を計算する

求める量は

$$X=\frac{Q_{\mathrm{b}}}{q_0}$$X=q0​Qb​​

です。上で得た式を使うと、

$$X= \frac{ \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\lambda L }{ \lambda_0 L } = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r} \frac{\lambda}{\lambda_0}$$X=λ0​Lεr​εr​−1​λL​=εr​εr​−1​λ0​λ​

です。

ここで、

$$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{ \ln\frac{b}{a} }{ \ln\frac{c}{a} + \frac{1}{\varepsilon_r}\ln\frac{b}{c} }$$λ0​λ​=lnac​+εr​1​lncb​lnab​​

です。

この比を求める段階では、$L$L、$V$V、$\varepsilon_0$ε0​ は約分されます。これらは個々の電荷量 $q$q、$q_0$q0​、$Q_{\mathrm{b}}$Qb​ を定めるためには必要ですが、今回の入力値である比 $X$X には残りません。

制約より、

$$\frac{c}{a}=2,\quad \frac{b}{c}=4,\quad \frac{b}{a}=8$$ac​=2,cb​=4,ab​=8

です。したがって、

$$\ln\frac{c}{a}=\ln 2$$lnac​=ln2 $$\ln\frac{b}{c}=\ln 4=2\ln 2$$lncb​=ln4=2ln2 $$\ln\frac{b}{a}=\ln 8=3\ln 2$$lnab​=ln8=3ln2

です。

また、

$$\varepsilon_r=3$$εr​=3

なので、

$$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{3\ln 2} {\ln 2+\frac{1}{3}\cdot 2\ln 2}$$λ0​λ​=ln2+31​⋅2ln23ln2​

となります。分母を整理すると、

$$\ln 2+\frac{2}{3}\ln 2 = \frac{5}{3}\ln 2$$ln2+32​ln2=35​ln2

です。よって、

$$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{3\ln 2}{\frac{5}{3}\ln 2} = \frac{9}{5}$$λ0​λ​=35​ln23ln2​=59​

です。

したがって、

$$X= \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r} \frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{2}{3}\cdot\frac{9}{5} = \frac{6}{5}$$X=εr​εr​−1​λ0​λ​=32​⋅59​=56​

です。

よって、

$$p=6,\quad q=5$$p=6,q=5

なので、入力すべき自然数は

$$p+q=11$$p+q=11

です。

答えは

$$\boxed{11}$$11​

です。