時空コヒーレンスの結合と干渉縞の拡張

問題文

空間的コヒーレンス（光源の有限の大きさ）と時間的コヒーレンス（光源の有限のスペクトル幅）の双方が干渉縞に与える影響を厳密に評価する。

$xyz$xyz 空間において、$z$z 軸を光軸とする。 $z = -l$z=−l の平面（光源面）上に、空間的に完全にインコヒーレントな線状光源が配置されている。この光源は $y$y 軸方向に広がりを持ち、その時間平均された輝度分布は $I(y_s) = I_0 \exp\left(-\frac{y_s^2}{2\sigma_y^2}\right)$I(ys​)=I0​exp(−2σy2​ys2​​) に従う（$x$x 方向は無視できるほど細いとする）。ここで $y_s$ys​ は光源面上の $y$y 座標である。 また、光源上の任意の微小領域から放出される光は、中心波数 $k_0$k0​、波数の標準偏差 $\sigma_k$σk​ を持つガウス型のパワースペクトル $S(k) = S_0 \exp\left(-\frac{(k-k_0)^2}{2\sigma_k^2}\right)$S(k)=S0​exp(−2σk2​(k−k0​)2​) を持つものとする。

$z = 0$z=0 の平面には、極めて細い2つのスリットが $y = d/2$y=d/2 と $y = -d/2$y=−d/2 の位置に設けられている（ヤングの二重スリット）。 $z = L$z=L の平面（スクリーン）上の座標 $y = Y$y=Y における、時間平均された光の強度分布 $I(Y)$I(Y) を観測する。

近軸近似（$d, \sigma_y, Y \ll l, L$d,σy​,Y≪l,L）が成立するものとし、光源からスリット、およびスリットからスクリーンまでの距離を計算する際は、経路差の評価においてはテイラー展開の2次の項までを考慮し、振幅の距離による減衰は無視せよ。 また、$k_0 \gg \sigma_k$k0​≫σk​ であるため、波数 $k$k に関する積分範囲は $(-\infty, \infty)$(−∞,∞) に拡張して近似してよい。

スクリーン上の強度分布 $I(Y)$I(Y) は、緩やかに変化する背景強度 $I_{\text{bg}}$Ibg​ に対して、干渉による変調を受けた形として次のように表される。

$$I(Y) = I_{\text{bg}} \left[ 1 + V(Y) \cos(\Phi(Y)) \right]$$I(Y)=Ibg​[1+V(Y)cos(Φ(Y))]

ここで、$V(Y)$V(Y) は干渉縞のビジビリティ（コントラスト）を表す正の関数、$\Phi(Y)$Φ(Y) は干渉縞の位相を表す関数である。

以下の2つの量を導出せよ。

1. スクリーン上で局所的な干渉縞の間隔 $\Lambda$Λ。ただし、$\Lambda$Λ は位相 $\Phi(Y)$Φ(Y) が $2\pi$2π 変化するのに必要な $Y$Y の変化量と定義する。
2. ビジビリティ $V(Y)$V(Y) が最大値をとる位置を $Y=0$Y=0 としたとき、$V(Y_c) = V(0) / e$V(Yc​)=V(0)/e を満たす位置 $Y_c$Yc​ ($Y_c > 0$Yc​>0)。ただし $e$e はネイピア数である。

計算の際、以下のガウス積分の公式を用いてよい（$p$p の実部は正、$q, r$q,r は複素数）。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-p x^2 + q x + r) dx = \sqrt{\frac{\pi}{p}} \exp\left( \frac{q^2}{4p} + r \right)$$∫−∞∞​exp(−px2+qx+r)dx=pπ​​exp(4pq2​+r)

制約

各パラメータは以下の値をとる。

• 光源からスリット面までの距離: $l = 1.0 \text{ m}$l=1.0 m
• スリット面からスクリーンまでの距離: $L = 6.0 \text{ m}$L=6.0 m
• スリット間隔: $d = 2.0 \times 10^{-3} \text{ m}$d=2.0×10−3 m
• 光源の輝度分布の広がり: $\sigma_y = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}$σy​=1.0×10−3 m
• 光源の波数スペクトル幅: $\sigma_k = 1.0 \times 10^6 \text{ m}^{-1}$σk​=1.0×106 m−1
• 光源の中心波数: $k_0 = 1.0 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$k0​=1.0×107 m−1

入力形式

求められた干渉縞の間隔は $\Lambda = A\pi \text{ [mm]}$Λ=Aπ [mm] となり、ビジビリティが $1/e$1/e に減衰する位置の2乗は $Y_c^2 = B \text{ [mm}^2]$Yc2​=B [mm2] となる。ここで $A$A と $B$B は自然数である。 $A \times B$A×B の値を自然数で解答せよ。