ホバークラフトとフーコーの振り子 〜球面上の幾何学的位相〜

問題文

半径 $R$R の完全な球形の惑星がある。この惑星は、宇宙の絶対静止系に対して一定の角速度 $\omega$ω で自転している。自転軸が惑星表面と交わる点のうち一つを北極 $\mathrm{N}$N と呼ぶ。

この惑星の表面を、表面に対して一定の速さ $V$V で移動できるホバークラフトがある。ホバークラフト内には、理想的なフーコーの振り子が設置されている。ホバークラフトは、北極 $\mathrm{N}$N を出発し、以下の経路を順に辿って再び北極 $\mathrm{N}$N に戻る。

1. 経度 $0^\circ$0∘ の子午線に沿って南下し、赤道上の点 $\mathrm{A}$A に到達する。
2. 点 $\mathrm{A}$A から赤道に沿って東（惑星の自転方向）へ移動し、経度 $\phi_0$ϕ0​ の点 $\mathrm{B}$B に到達する。
3. 点 $\mathrm{B}$B から経度 $\phi_0$ϕ0​ の子午線に沿って北上し、北極 $\mathrm{N}$N に戻る。

ホバークラフトの床は常にその場所の水平面（惑星の中心からの動径方向に垂直な面）と平行に保たれている。また、移動による衝撃や方向転換が振り子の運動に及ぼす影響は無視でき、振り子の振動周期はホバークラフトの移動時間に比べて十分に短く、断熱不変性が保たれるものとする。

北極 $\mathrm{N}$N を出発する直前、振り子の振動面は、惑星に固定された座標系から見て「経度 $0^\circ$0∘ の子午線に沿って南（点 $\mathrm{A}$A）へ向かう方向」に平行であった。 全経路の移動を終え、北極 $\mathrm{N}$N に帰還した直後の振り子の振動面は、帰還時点における経度 $0^\circ$0∘ の子午線（惑星表面に固定された線）に対して角度 $\Delta \Theta \mathrm{\ [rad]}$ΔΘ [rad] だけ回転していた。ここで、北極の真上から見て自転と同じ向き（反時計回り）を正の角度とする。

$\Delta \Theta$ΔΘ を求めよ。

制約

• 惑星の半径: $R = \frac{24}{\pi} \times 10^6 \mathrm{\ m}$R=π24​×106 m
• 惑星の自転角速度: $\omega = \frac{\pi}{16} \times 10^{-4} \mathrm{\ rad/s}$ω=16π​×10−4 rad/s
• ホバークラフトの速さ: $V = 50 \mathrm{\ m/s}$V=50 m/s
• 点 $\mathrm{B}$B の経度: $\phi_0 = \frac{5\pi}{6} \mathrm{\ rad}$ϕ0​=65π​ rad

入力形式

$\Delta \Theta$ΔΘ は、互いに素な自然数 $A, B$A,B と自然数 $C$C を用いて以下の形で表される。

$$\Delta \Theta = \frac{A\pi}{B} - C$$ΔΘ=BAπ​−C

$A \times B \times C$A×B×C の値を求め、自然数で解答せよ。