質量端の周波数で切り替わる反射条件

問題文

線密度 $\rho$ρ、張力 $S$S の一様な弦が $x<0$x<0 の領域に存在し、原点で質量 $m$m の小環に結ばれている。小環は $y$y 軸に沿ったガイド上を摩擦なく動く。重力と空気抵抗は無視する。

弦の変位を $y(x,t)$y(x,t) とする。微小変位の範囲では、小環が弦から受ける力の $y$y 成分は、

$$-S\frac{\partial y}{\partial x}(0,t)$$−S∂x∂y​(0,t)

と近似できるものとする。

弦を伝わる横波の速さは、

$$v=\sqrt{\frac{S}{\rho}}$$v=ρS​​

である。

原点へ向かう入射波を、

$$y_{\mathrm{in}}(x,t) = A\cos(\omega t-kx)$$yin​(x,t)=Acos(ωt−kx)

とする。ただし、

$$k=\frac{\omega}{v}$$k=vω​

である。

定常状態では、小環も角振動数 $\omega$ω で調和振動している。

小環の運動方程式と調和振動の加速度を用いて、境界条件を角振動数 $\omega$ω と結び付けて考える。

次の各問いについて正しい選択肢を選べ。

(a)

小環の運動方程式から得られる境界条件を、無次元量

$$\beta=\frac{m\omega^2}{Sk}$$β=Skmω2​

を用いて表したものとして正しいものはどれか。

1. $\dfrac{1}{k}\dfrac{\partial y}{\partial x}(0,t)=\beta y(0,t)$k1​∂x∂y​(0,t)=βy(0,t)
2. $\dfrac{1}{k}\dfrac{\partial y}{\partial x}(0,t)=-\beta y(0,t)$k1​∂x∂y​(0,t)=−βy(0,t)
3. $ky(0,t)=\beta\dfrac{\partial y}{\partial x}(0,t)$ky(0,t)=β∂x∂y​(0,t)
4. $\dfrac{\partial y}{\partial x}(0,t)=0$∂x∂y​(0,t)=0

(b)

$\omega\to0$ω→0 の極限では、この境界はどのような境界に近づくか。

1. 固定端
2. 自由端
3. 波を完全に吸収する端
4. どちらにも近づかない

(c)

$\omega\to\infty$ω→∞ の極限では、この境界はどのような境界に近づくか。

1. 自由端
2. 波を完全に吸収する端
3. 固定端
4. どちらにも近づかない

制約

なし

入力形式

(a)、(b)、(c)で選んだ番号をこの順に連結した自然数を入力せよ。