慣性をもつ弦端で決まる反射係数

問題文

線密度 $\rho$ρ、張力 $S$S の一様な弦が $x<0$x<0 の領域に存在し、原点で質量 $m$m の小環に結ばれている。小環は $y$y 軸に沿ったガイド上を摩擦なく動く。重力と空気抵抗は無視する。

弦の変位を $y(x,t)$y(x,t) とする。微小変位の範囲では、小環が弦から受ける力の $y$y 成分は、

$$-S\frac{\partial y}{\partial x}(0,t)$$−S∂x∂y​(0,t)

と近似できるものとする。

弦を伝わる横波の速さは、

$$v=\sqrt{\frac{S}{\rho}}$$v=ρS​​

である。

原点へ向かう入射波を、

$$y_{\mathrm{in}}(x,t) = A\cos(\omega t-kx)$$yin​(x,t)=Acos(ωt−kx)

とする。ただし、

$$k=\frac{\omega}{v}$$k=vω​

である。

反射波を、

$$y_{\mathrm{ref}}(x,t) = B\cos(\omega t+kx) + C\sin(\omega t+kx)$$yref​(x,t)=Bcos(ωt+kx)+Csin(ωt+kx)

とする。

小環には、弦からの力以外に $y$y 方向の力は働かない。

$B/A$B/A と $C/A$C/A を求めよ。

得られた値を、

$$\frac{B}{A}=\frac{p}{q}, \qquad \frac{C}{A}=\frac{r}{q}$$AB​=qp​,AC​=qr​

と表す。ただし、$p,q,r$p,q,r は正の自然数であり、各分数は既約である。

制約

• $\rho=4.00\times10^{-2}\,\mathrm{kg/m}$ρ=4.00×10−2kg/m
• $S=25.0\,\mathrm{N}$S=25.0N
• $m=1.12\times10^{-2}\,\mathrm{kg}$m=1.12×10−2kg
• $\omega=75.0\,\mathrm{rad/s}$ω=75.0rad/s

入力形式

$p+q+r$p+q+r を自然数で入力せよ。