1次元量子調和振動子における位置の四次モーメント

問題文

1次元量子調和振動子のハミルトニアンを

$$H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat x^2$$H=2mp^​2​+21​mω2x^2

とする。ここで $m>0$m>0、$\omega>0$ω>0 であり、

$$[\hat x,\hat p]=i\hbar$$[x^,p^​]=iℏ

が成り立つ。

生成消滅演算子を

$$a= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,\hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\,\hat p$$a=2ℏmω​​x^+2mℏω​i​p^​

および

$$a^\dagger= \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\,\hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\,\hat p$$a†=2ℏmω​​x^−2mℏω​i​p^​

と定義する。

$|n\rangle$∣n⟩ を $H$H の規格化されたエネルギー固有状態とし、その位相は

$$a|n\rangle=\sqrt n\,|n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$$a∣n⟩=n​∣n−1⟩,a†∣n⟩=n+1​∣n+1⟩

を満たすように選ぶ。

時刻 $t=0$t=0 において、系は

$$|\psi(0)\rangle = \mathcal N \left( A|0\rangle+B|2\rangle+C|4\rangle \right)$$∣ψ(0)⟩=N(A∣0⟩+B∣2⟩+C∣4⟩)

で表される状態にある。ここで $\mathcal N$N は正の規格化定数である。

その後、外力や測定を加えず、時間に依存しないハミルトニアン $H$H のもとで時間発展させる。

時刻 $t\geq0$t≥0 における位置の四次モーメントを

$$M(t) = \langle\psi(t)|\hat x^4|\psi(t)\rangle$$M(t)=⟨ψ(t)∣x^4∣ψ(t)⟩

とする。

$M(t)$M(t) が $t\geq0$t≥0 で取り得る最大値を $M_{\max}$Mmax​、最小値を $M_{\min}$Mmin​ とする。

制約

• $A=6\sqrt3$A=63​（無次元）
• $B=\sqrt6$B=6​（無次元）
• $C=3\sqrt2$C=32​（無次元）

入力形式

無次元比

$$R=\frac{M_{\max}}{M_{\min}}$$R=Mmin​Mmax​​

を既約分数

$$R=\frac{p}{q}$$R=qp​

と表す。

入力すべき自然数は $p+q$p+q とする。