マクスウェル方程式によるマクスウェルの応力と静電吸引力の導出

問題文

真空中に、面積が十分に広い2枚の完全導体平板が、距離 $d$d 離れて互いに平行に置かれている。この2枚の導体平板間に直流電源を接続し、極板間に一定の電位差 $V$V を与えた。極板間は真空（誘電率 $\varepsilon_0$ε0​）で満たされている。

導体平板の面積を $S$S とし、端効果（エッジ効果）はすべて無視できるものとする。また、極板間の電場ベクトル $\boldsymbol{E} = (E_x, E_y, E_z)$E=(Ex​,Ey​,Ez​) は一様であり、極板の法線方向（$x$x 軸方向）を向いているとする。

マクスウェル方程式および電磁気学の一般論から、真空中のマクスウェルの応力テンソル $\boldsymbol{T}$T の各成分 $T_{ij}$Tij​ ($i, j \in \{x, y, z\}$i,j∈{x,y,z}) は、電場ベクトルを用いて以下のように定義される。 $T_{ij} = \varepsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} |\boldsymbol{E}|^2 \right)$Tij​=ε0​(Ei​Ej​−21​δij​∣E∣2) ここで、$\delta_{ij}$δij​ はクロネッカーのデルタを表す。

一方の導体平板が他方の導体平板から受ける $x$x 軸方向の静電吸引力の大きさ $F$F は、極板を囲む閉曲面 $A$A 上でマクスウェルの応力テンソルの法線成分を積分することによって、次のように厳密に計算できる。 $F = \oint_A \sum_{j} T_{xj} n_j dR$F=∮A​∑j​Txj​nj​dR ここで、$\boldsymbol{n} = (n_x, n_y, n_z)$n=(nx​,ny​,nz​) は閉曲面 $A$A の外向き単位法線ベクトルである。

このテンソル計算を用いて、法線成分 $T_{xx}$Txx​ を $\varepsilon_0, V, d$ε0​,V,d を用いて表し、これをもとに一方の極板が受ける全体の静電吸引力の大きさ $F$F を表す文字式を導出せよ。

制約

• $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ε0​=8.85×10−12 F/m
• $S = 0.500 \text{ m}^2$S=0.500 m2
• $V = 3000 \text{ V}$V=3000 V
• $d = 2.00 \times 10^{-3} \text{ m}$d=2.00×10−3 m

入力形式

導出した静電吸引力の大きさ $F \text{ [N]}$F [N] を計算すると、 $A \times 10^{-6} \text{ N}$A×10−6 N となる。このときの係数 $A$A の値を求め、その値を表す自然数を入力せよ。