GWCA001 問題5

解説

マクスウェルの応力テンソル成分の計算

問題の設定より、極板間に生じる一様電場は $x$x 軸方向のみに成分を持ちます。すなわち、電場ベクトルは次のように表されます。 $\boldsymbol{E} = (E_x, 0, 0)$E=(Ex​,0,0) 電位差が $V$V、極板間隔が $d$d であるため、その大きさ $E_x$Ex​ は次のようになります。 $E_x = \frac{V}{d}$Ex​=dV​

マクスウェルの応力テンソルの $x$x 軸方向の法線成分 $T_{xx}$Txx​ を定義式から計算します。$i=x, j=x$i=x,j=x のとき、 $\delta_{xx} = 1$δxx​=1 および $|\boldsymbol{E}|^2 = E_x^2$∣E∣2=Ex2​ となるため、次式が得られます。 $T_{xx} = \varepsilon_0 \left( E_x E_x - \frac{1}{2} \delta_{xx} |\boldsymbol{E}|^2 \right) = \varepsilon_0 \left( E_x^2 - \frac{1}{2} E_x^2 \right) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_x^2$Txx​=ε0​(Ex​Ex​−21​δxx​∣E∣2)=ε0​(Ex2​−21​Ex2​)=21​ε0​Ex2​ $T_{xx} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left(\frac{V}{d}\right)^2$Txx​=21​ε0​(dV​)2

その他の成分について、 $j \neq x$j=x のときは $E_y = 0, E_z = 0$Ey​=0,Ez​=0 かつ $\delta_{xj} = 0$δxj​=0 となるため、 $T_{xy} = 0, T_{xz} = 0$Txy​=0,Txz​=0 となります。

閉曲面積分による力の算出

極板全体を包み込むような薄い直方体の閉曲面 $A$A を考えます。極板の内側（電場が存在する空間）に向いた面では、外向き単位法線ベクトルは $\boldsymbol{n} = (1, 0, 0)$n=(1,0,0) または $\boldsymbol{n} = (-1, 0, 0)$n=(−1,0,0) となります。極板の裏側（導体の内部または外側）では電場が $0$0 であるため、応力テンソルの成分も $0$0 です。また、側面積分は端効果を無視するため寄与しません。

したがって、電場が存在する側の面（面積 $S$S）からの寄与のみが残り、 $x$x 軸方向の力 $F$F は次のように面積分を単純な積の形で実行できます。 $F = T_{xx} \times S = \frac{1}{2} \varepsilon_0 S \left(\frac{V}{d}\right)^2$F=Txx​×S=21​ε0​S(dV​)2

この結果は、エネルギー法（静電エネルギーの仮想変位による微分）から導かれる平行板コンデンサーの極板間引力の式と厳密に一致します。

数値代入と計算

与えられた制約の数値を代入します。 $E_x = \frac{V}{d} = \frac{3000}{2.00 \times 10^{-3}} = 1.50 \times 10^6 \text{ V/m}$Ex​=dV​=2.00×10−33000​=1.50×106 V/m $E_x^2 = (1.50 \times 10^6)^2 = 2.25 \times 10^{12} \text{ V}^2\text{/m}^2$Ex2​=(1.50×106)2=2.25×1012 V2/m2

これらを用いて力 $F$F を計算します。 $F = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 0.500 \times (2.25 \times 10^{12})$F=21​×(8.85×10−12)×0.500×(2.25×1012) $F = \frac{1}{2} \times 0.500 \times 8.85 \times 2.25 \times 10^{-12} \times 10^{12}$F=21​×0.500×8.85×2.25×10−12×1012 $F = 0.250 \times 19.9125 = 4.978125 \text{ N}$F=0.250×19.9125=4.978125 N

入力形式は $A \times 10^{-6} \text{ N}$A×10−6 N であるため、単位と桁数を合わせます。 $F = 4.978125 \text{ N} = 4978125 \times 10^{-6} \text{ N}$F=4.978125 N=4978125×10−6 N

したがって、係数 $A$A は $4978125$4978125 となります。

解答：4978125