交換対称性と最大固有角振動数

問題文

水平な直線レール上を摩擦なく動く同質量の小台車 $A,B,C$A,B,C があり，レール方向の平衡位置からの微小変位をそれぞれ $x_A,x_B,x_C$xA​,xB​,xC​ とする。列ベクトルを

$$x= \begin{pmatrix} x_A\\ x_B\\ x_C \end{pmatrix}$$x=​xA​xB​xC​​​

とおく。

微小振動の範囲で，台車に働く復元力は線形であり，

$$m\ddot{x}+Kx=0$$mx¨+Kx=0

に従う。ここで剛性行列 $K$K は，装置が $A$A と $C$C の交換に対して対称であることを反映して

$$K= \begin{pmatrix} \alpha&-\gamma&-\eta\\ -\gamma&\beta&-\gamma\\ -\eta&-\gamma&\alpha \end{pmatrix}$$K=​α−γ−η​−γβ−γ​−η−γα​​

で与えられる。

この装置の全ての正規モードのうち，最大の角振動数を $\omega_+$ω+​ とする。基準時間を $T$T として，無次元量

$$Y=(\omega_+T)^2$$Y=(ω+​T)2

を考える。制約の値を用いると，$Y$Y は

$$Y=P+Q\sqrt{R}$$Y=P+QR​

と一意に表せる。ただし $P,Q,R$P,Q,R は自然数であり，$R$R は平方因子をもたないものとする。

制約

（変数への現実的な数値とSI単位の割り当て。箇条書き。単位もKaTeX）

• $m=0.50\,\mathrm{kg}$m=0.50kg
• $\alpha=48\,\mathrm{N/m}$α=48N/m
• $\beta=40\,\mathrm{N/m}$β=40N/m
• $\gamma=16\,\mathrm{N/m}$γ=16N/m
• $\eta=0\,\mathrm{N/m}$η=0N/m
• $T=1.0\,\mathrm{s}$T=1.0s

入力形式

$$P\times Q\times R$$P×Q×R

の値を入力せよ。