GSO005 問題9

正規モードの条件

運動方程式は

$$m\ddot{x}+Kx=0$$mx¨+Kx=0

である。正規モードでは，各成分が同じ角振動数で振動するので，ある一定ベクトル $u\neq 0$u=0 を用いて

$$x(t)=u\cos(\omega t+\phi)$$x(t)=ucos(ωt+ϕ)

と書ける。

これを運動方程式に代入する。

$$\ddot{x}(t)=-\omega^2u\cos(\omega t+\phi)$$x¨(t)=−ω2ucos(ωt+ϕ)

より，

$$m\{-\omega^2u\cos(\omega t+\phi)\}+Ku\cos(\omega t+\phi)=0$$m{−ω2ucos(ωt+ϕ)}+Kucos(ωt+ϕ)=0

したがって

$$(K-m\omega^2I)u=0$$(K−mω2I)u=0

である。非零ベクトル $u$u が存在するための条件は

$$Ku=m\omega^2u$$Ku=mω2u

である。

つまり，$m\omega^2$mω2 は剛性行列 $K$K の固有値である。したがって，$K$K の最大固有値を $\lambda_+$λ+​ とすると，

$$\omega_+^2=\frac{\lambda_+}{m}$$ω+2​=mλ+​​

である。

対称性による分解

行列 $K$K は $A$A と $C$C の交換に対して対称である。したがって，固有ベクトルは

$$x_A=x_C$$xA​=xC​

を満たす対称モードと，

$$x_A=-x_C,\qquad x_B=0$$xA​=−xC​,xB​=0

を満たす反対称モードに分けられる。

これは線形代数学でいうと，交換作用素と $K$K が可換であるため，空間が対称部分空間と反対称部分空間の直和に分解されるということである。

反対称モード

反対称モードの固有ベクトルを

$$u_o= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}$$uo​=​10−1​​

とする。

$$K= \begin{pmatrix} \alpha&-\gamma&-\eta\\ -\gamma&\beta&-\gamma\\ -\eta&-\gamma&\alpha \end{pmatrix}$$K=​α−γ−η​−γβ−γ​−η−γα​​

だから，

$$Ku_o= \begin{pmatrix} \alpha+\eta\\ -\gamma+\gamma\\ -\eta-\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha+\eta\\ 0\\ -(\alpha+\eta) \end{pmatrix} = (\alpha+\eta) \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}$$Kuo​=​α+η−γ+γ−η−α​​=​α+η0−(α+η)​​=(α+η)​10−1​​

である。

よって反対称モードの固有値は

$$\lambda_o=\alpha+\eta$$λo​=α+η

である。制約より

$$\lambda_o=48+0=48\,\mathrm{N/m}$$λo​=48+0=48N/m

したがって

$$\omega_o^2=\frac{48}{0.50}=96\,\mathrm{s^{-2}}$$ωo2​=0.5048​=96s−2

である。

対称モード

対称モードでは

$$u_e= \begin{pmatrix} a\\ b\\ a \end{pmatrix}$$ue​=​aba​​

とおける。

これに $K$K を作用させる。

$$Ku_e= \begin{pmatrix} \alpha a-\gamma b-\eta a\\ -\gamma a+\beta b-\gamma a\\ -\eta a-\gamma b+\alpha a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\alpha-\eta)a-\gamma b\\ -2\gamma a+\beta b\\ (\alpha-\eta)a-\gamma b \end{pmatrix}$$Kue​=​αa−γb−ηa−γa+βb−γa−ηa−γb+αa​​=​(α−η)a−γb−2γa+βb(α−η)a−γb​​

よって，対称部分空間での固有値問題は

$$\begin{pmatrix} \alpha-\eta&-\gamma\\ -2\gamma&\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$$(α−η−2γ​−γβ​)(ab​)=λ(ab​)

に帰着される。

したがって

$$\det \begin{pmatrix} \alpha-\eta-\lambda&-\gamma\\ -2\gamma&\beta-\lambda \end{pmatrix} =0$$det(α−η−λ−2γ​−γβ−λ​)=0

である。

行列式を計算すると，

$$(\alpha-\eta-\lambda)(\beta-\lambda)-2\gamma^2=0$$(α−η−λ)(β−λ)−2γ2=0

である。

制約の値

$$\alpha=48,\qquad \beta=40,\qquad \gamma=16,\qquad \eta=0$$α=48,β=40,γ=16,η=0

を代入する。

$$(48-\lambda)(40-\lambda)-2\cdot 16^2=0$$(48−λ)(40−λ)−2⋅162=0

まず，

$$(48-\lambda)(40-\lambda) =1920-88\lambda+\lambda^2$$(48−λ)(40−λ)=1920−88λ+λ2

また，

$$2\cdot 16^2=2\cdot 256=512$$2⋅162=2⋅256=512

だから，

$$\lambda^2-88\lambda+1920-512=0$$λ2−88λ+1920−512=0

すなわち

$$\lambda^2-88\lambda+1408=0$$λ2−88λ+1408=0

である。

解の公式より，

$$\lambda = \frac{88\pm\sqrt{88^2-4\cdot 1408}}{2}$$λ=288±882−4⋅1408​​

判別式を計算する。

$$88^2=7744$$882=7744 $$4\cdot 1408=5632$$4⋅1408=5632

したがって

$$88^2-4\cdot 1408=7744-5632=2112$$882−4⋅1408=7744−5632=2112

ここで

$$2112=64\cdot 33$$2112=64⋅33

だから，

$$\sqrt{2112}=8\sqrt{33}$$2112​=833​

よって対称モードの固有値は

$$\lambda = \frac{88\pm 8\sqrt{33}}{2} = 44\pm 4\sqrt{33}$$λ=288±833​​=44±433​

である。

最大固有値の判定

得られた剛性行列 $K$K の固有値は

$$48,\qquad 44-4\sqrt{33},\qquad 44+4\sqrt{33}$$48,44−433​,44+433​

である。

$$4\sqrt{33}>4\sqrt{25}=20$$433​>425​=20

なので，

$$44+4\sqrt{33}>64$$44+433​>64

であり，

$$44+4\sqrt{33}>48$$44+433​>48

である。したがって最大固有値は

$$\lambda_+=44+4\sqrt{33}$$λ+​=44+433​

である。

最大角振動数の二乗

$$\omega_+^2=\frac{\lambda_+}{m}$$ω+2​=mλ+​​

であり，$m=0.50\,\mathrm{kg}$m=0.50kg だから，

$$\omega_+^2 = \frac{44+4\sqrt{33}}{0.50}$$ω+2​=0.5044+433​​ $$0.50=\frac{1}{2}$$0.50=21​

より，

$$\omega_+^2 = 2(44+4\sqrt{33}) = 88+8\sqrt{33}$$ω+2​=2(44+433​)=88+833​

したがって

$$\omega_+^2=88+8\sqrt{33}\,\mathrm{s^{-2}}$$ω+2​=88+833​s−2

である。

無次元量 $Y$Y

問題では

$$Y=(\omega_+T)^2$$Y=(ω+​T)2

であった。制約より

$$T=1.0\,\mathrm{s}$$T=1.0s

なので，

$$Y=\omega_+^2T^2$$Y=ω+2​T2 $$Y=(88+8\sqrt{33})\,\mathrm{s^{-2}}\cdot (1.0\,\mathrm{s})^2$$Y=(88+833​)s−2⋅(1.0s)2

単位が打ち消し合い，

$$Y=88+8\sqrt{33}$$Y=88+833​

となる。

したがって

$$P=88,\qquad Q=8,\qquad R=33$$P=88,Q=8,R=33

である。

求める入力値は

$$P\times Q\times R = 88\times 8\times 33$$P×Q×R=88×8×33

まず，

$$88\times 8=704$$88×8=704

次に，

$$704\times 33=704(30+3)=21120+2112=23232$$704×33=704(30+3)=21120+2112=23232

よって入力すべき自然数は

$$\boxed{23232}$$23232​