ボーア原子の光子エネルギーを読み解く

問題文

水素原子をボーアの水素原子模型で考える。電子が量子数 $n_i$ni​ の軌道から、より内側の量子数 $n_f$nf​ の軌道へ移るとき、原子は光子を一つ放出する。

ボーア模型では、量子数 $n$n の軌道にある電子の全エネルギー $E_n$En​ は

$$E_n=-\frac{K}{n^2}$$En​=−n2K​

で表されるとする。

電子が外側の軌道から内側の軌道へ移ると、電子自身のエネルギーは減少する。その減少分が放出される光子のエネルギーになるので、放出光子の振動数 $f$f は

$$hf=E_{n_i}-E_{n_f}$$hf=Eni​​−Enf​​

を満たす。

このとき、放出される光子の振動数 $f$f を求める。さらに、無次元量

$$X=\frac{f}{10^{13}\ \mathrm{Hz}}$$X=1013 Hzf​

を計算する。

制約

• $K=13.6\ \mathrm{eV}$K=13.6 eV
• $h=4.14\times 10^{-15}\ \mathrm{eV\cdot s}$h=4.14×10−15 eV⋅s
• $n_i=3$ni​=3
• $n_f=2$nf​=2

入力形式

$X=\frac{f}{10^{13}\ \mathrm{Hz}}$X=1013 Hzf​ を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したとき、$p+q$p+q を入力せよ。