共振から外れた直列 $LRC$ 回路に隠れる蓄積エネルギー

問題文

抵抗 $R$R，コイル $L$L，コンデンサー $C$C をこの順に直列接続し，その両端に実効値 $V$V の正弦波交流電源を接続する。電源の角振動数を $\omega$ω とし，回路は十分時間が経過して定常状態に達している。導線の抵抗，電源の内部抵抗，コイルの巻線抵抗は無視でき，抵抗成分は $R$R のみである。

この回路の固有角振動数を

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$ω0​=LC​1​

とする。実際の角振動数は

$$\omega<\omega_0$$ω<ω0​

を満たすように調整されている。

同じ $R,L,C,V$R,L,C,V のまま，角振動数だけを $\omega_0$ω0​ にしたときの抵抗 $R$R の平均消費電力を $P_{\max}$Pmax​ とする。実際の角振動数 $\omega$ω における抵抗 $R$R の平均消費電力を $P$P とすると，

$$P=pP_{\max}$$P=pPmax​

である。

また，実際の角振動数 $\omega$ω におけるコンデンサーの両端電圧の実効値を $V_C$VC​ とすると，

$$V_C=qV$$VC​=qV

である。

定常状態における瞬時電流を $i(t)$i(t)，コンデンサーの瞬時電圧を $v_C(t)$vC​(t) とする。回路のコイルとコンデンサーに蓄えられている電磁エネルギーの和を

$$E(t)=\frac{1}{2}Li(t)^2+\frac{1}{2}Cv_C(t)^2$$E(t)=21​Li(t)2+21​CvC​(t)2

と定義する。

$E(t)$E(t) の時間平均を $\overline{E}$E とする。

制約

• $C=80.0\,\mu\mathrm{F}=80.0\times10^{-6}\,\mathrm{F}$C=80.0μF=80.0×10−6F
• $V=75.0\,\mathrm{V}$V=75.0V
• $p=\dfrac{144}{169}$p=169144​
• $q=13.0$q=13.0

入力形式

$\overline{E}$E を $\mathrm{J}$J 単位で表した数値を用いて，次の量

$$N=40\overline{E}$$N=40E

を計算して自然数で答えよ。