真夏の夜の熱力学

問題文

真夏の夜、完全に断熱された密閉容器（寝室をモデル化したもの）の中に、質量 $m_a$ma​ の空気が閉じ込められており、その初期温度は $T_1$T1​ であった。 暑さをしのぐため、この空間に初期温度 $T_2$T2​ （$T_2 < T_0$T2​<T0​）の氷を質量 $m_i$mi​ だけ静かに置き、再び密閉した。

十分な時間が経過した後、室内の空気と氷（融けて水になっている状態を含む）は熱平衡状態に達し、全体の温度は $T_3$T3​ （$T_3 > T_0$T3​>T0​）となった。 この過程において、以下の条件を仮定する。 ・空気から氷（および水）への熱移動のみを考慮し、外部との熱のやり取りや容器の熱容量は無視できる。 ・空気の体積変化は無視でき、定積変化として扱う。空気の定積比熱を $c_v$cv​ とする。 ・氷の比熱を $c_i$ci​、氷の融解熱を $L$L、水の比熱を $c_w$cw​ とする。 ・氷の融点を $T_0$T0​ とし、最終的に氷はすべて水になり、蒸発はしないものとする。

熱平衡時の温度 $T_3$T3​ を文字式で導出した後、与えられた制約の数値を代入し、$T_3$T3​ の値を求めよ。

制約

・空気の質量: $m_a = 35 \text{ kg}$ma​=35 kg ・空気の定積比熱: $c_v = 720 \text{ J/(kg\cdot K)}$cv​=720 J/(kg\cdotK) ・空気の初期温度: $T_1 = 308 \text{ K}$T1​=308 K ・氷の質量: $m_i = 0.8 \text{ kg}$mi​=0.8 kg ・氷の初期温度: $T_2 = 248 \text{ K}$T2​=248 K ・氷の比熱: $c_i = 2100 \text{ J/(kg\cdot K)}$ci​=2100 J/(kg\cdotK) ・氷の融点: $T_0 = 273 \text{ K}$T0​=273 K ・氷の融解熱: $L = 336000 \text{ J/kg}$L=336000 J/kg ・水の比熱: $c_w = 4200 \text{ J/(kg\cdot K)}$cw​=4200 J/(kg\cdotK)

入力形式

熱平衡時の温度 $T_3$T3​ の値を自然数でそのまま入力せよ。