ばねばかりに吊るした小物入れ全体の復元力と周期

問題文

実験室で使うばねばかりの下端に、軽い小物入れを吊るし、その中におもりを入れる。小物入れとおもりを合わせた物体をひとまとまりの物体として扱い、その合計質量を $m$m とする。重力加速度の大きさを $g$g とする。

ばねばかりのばねは鉛直方向にだけ伸び縮みし、ばねの伸びが $x$x のとき、ばねが物体に及ぼす力の大きさは $kx$kx である。ここで、ばねの伸びとは、ばねの長さが自然長からどれだけ増えたかを表す量である。

物体を静かに吊るすと、ばねは自然長から $x_0$x0​ だけ伸びて静止した。その後、物体をつり合いの位置から鉛直下向きに少しだけ引き下げ、静かに手を離した。空気抵抗は無視でき、ばねの質量も無視できるものとする。また、物体の振動中、ばねは常に伸びた状態を保つものとする。

鉛直下向きを正の向きとし、つり合いの位置からの変位を $y$y とする。

次の問いに答えよ。

1. つり合いの位置から変位 $y$y にあるとき、物体にはたらく合力を $y$y を用いて表せ。
2. この運動が復元力による振動であることを説明し、周期 $T$T を $m$m と $k$k を用いて表せ。
3. 制約で与えた値を用いて、周期 $T$T の二乗 $T^2$T2 を求めよ。

制約

• $m=0.347\,\mathrm{kg}$m=0.347kg
• $k=18.6\,\mathrm{N/m}$k=18.6N/m
• $\pi^2=10.0$π2=10.0

入力形式

周期 $T$T の二乗 $T^2$T2 を既約分数 $\dfrac{p}{q}$qp​ で表したとき、$p+q$p+q を入力せよ。