コンプトン効果と反跳電子の運動量

問題文

静止している質量 $m$m の自由電子に、波長 $\lambda$λ の X 線光子を衝突させたところ、X 線光子は元の進行方向に対して角度 $\theta$θ だけ散乱され、その波長は $\lambda'$λ′ に変化した。この現象をコンプトン効果と呼ぶ。

散乱後の X 線光子の波長 $\lambda'$λ′ は、プランク定数 $h$h および真空中における光の速さ $c$c を用いて、次の関係式を満たす。

$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)$$λ′−λ=mch​(1−cosθ)

衝突により、電子は X 線光子からエネルギーと運動量を受け取り、反跳電子として弾き出される。衝突前後における系全体の運動量保存則を考えることで、散乱された X 線光子の波長 $\lambda'$λ′、衝突前の X 線光子の波長 $\lambda$λ、および散乱角 $\theta$θ が分かれば、弾き出された反跳電子の運動量の大きさ $p_e$pe​ を直接求めることができる。

いま、波長 $\lambda$λ の X 線光子を静止した電子に衝突させたとき、散乱角 $\theta = 90^\circ$θ=90∘ の方向に散乱された X 線光子の波長 $\lambda'$λ′ は、元の波長の $\frac{101}{100}$100101​ 倍であった。この衝突において、弾き出された反跳電子の運動量の大きさ $p_e$pe​ を、衝突前の X 線光子の運動量の大きさ $p$p を用いて表せ。

制約

• $m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$m=9.1×10−31 kg
• $c = 3.0 \times 10^8 \ \text{m/s}$c=3.0×108 m/s
• $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{J}\cdot\text{s}$h=6.6×10−34 J⋅s

入力形式

反跳電子の運動量の大きさ $p_e$pe​ と、衝突前の X 線光子の運動量の大きさ $p$p の無次元比 $\frac{p_e}{p}$ppe​​ を求めたとき、その値は $\frac{\sqrt{N}}{101}$101N​​ と表すことができる。このときの根号内の自然数 $N$N の値を入力せよ。