ブラッグ反射とド・ブロイ波長

問題文

一格子間隔が $d$d である結晶の表面に、質量 $m$m、電気量（電荷の絶対値） $e$e の電子を静止状態から電位差 $V$V で加速して入射させた。

加速された電子は粒子としての性質だけでなく波動としての性質も持ち、そのド・ブロイ波長 $\lambda$λ は、プランク定数 $h$h を用いて $\lambda = \frac{h}{p}$λ=ph​ （ $p$p は電子の運動量の大きさ）と表される。この電子の波動が結晶格子面によって反射され、互いに強め合う条件（ブラッグの条件）は、入射角（格子面と入射方向のなす角）を $\theta$θ、反射の次数を $n$n （ $n=1, 2, 3, \cdots$n=1,2,3,⋯ ）とすると、次のように表される。

$$2d \sin \theta = n\lambda$$2dsinθ=nλ

いま、ある一定の電位差 $V$V で加速した電子線を結晶表面に入射させ、角 $\theta$θ を $0$0 から徐々に大きくしていったところ、 $\sin \theta = \frac{1}{8}$sinθ=81​ のときに $n=1$n=1 の最初の反射強度のピーク（強め合い）が観測された。

続いて、入射角を $\sin \theta = \frac{1}{2}$sinθ=21​ に固定したまま、電子を加速する電位差を $V$V から $V'$V′ へと変化させたところ、再び $n=1$n=1 の最初の反射強度のピークが観測された。このときの電位差の比 $\frac{V'}{V}$VV′​ を求めよ。ただし、電子の運動エネルギーは非相対論的に扱えるものとする。

制約

• $m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$m=9.1×10−31 kg
• $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$e=1.6×10−19 C
• $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{J}\cdot\text{s}$h=6.6×10−34 J⋅s
• $d = 3.3 \times 10^{-10} \ \text{m}$d=3.3×10−10 m

入力形式

求めた電位差の比 $\frac{V'}{V}$VV′​ の値を既約分数 $\frac{p}{q}$qp​ で表したとき、分子と分母の積 $p \times q$p×q の値を入力せよ。