問題文
ブラッグ反射とド・ブロイ波長 問題文
一格子間隔が d d d m m m e e e V V V
加速された電子は粒子としての性質だけでなく波動としての性質も持ち、そのド・ブロイ波長 λ \lambda λ h h h λ = h p \lambda = \frac{h}{p} λ = p h p p p θ \theta θ n n n n = 1 , 2 , 3 , ⋯ n=1, 2, 3, \cdots n = 1 , 2 , 3 , ⋯
2 d sin θ = n λ 2d \sin \theta = n\lambda 2 d sin θ = nλ いま、ある一定の電位差 V V V θ \theta θ 0 0 0 sin θ = 1 8 \sin \theta = \frac{1}{8} sin θ = 8 1 n = 1 n=1 n = 1
続いて、入射角を sin θ = 1 2 \sin \theta = \frac{1}{2} sin θ = 2 1 V V V V ′ V' V ′ n = 1 n=1 n = 1 V ′ V \frac{V'}{V} V V ′
制約
m = 9.1 × 10 − 31 m = 9.1 \times 10^{-31} \ \text{kg} m = 9.1 × 1 0 − 31 kg e = 1.6 × 10 − 19 e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C} e = 1.6 × 1 0 − 19 C h = 6.6 × 10 − 34 ⋅ sh = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{J}\cdot\text{s} h = 6.6 × 1 0 − 34 J ⋅ s d = 3.3 × 10 − 10 d = 3.3 \times 10^{-10} \ \text{m} d = 3.3 × 1 0 − 10 m
入力形式
求めた電位差の比 V ′ V \frac{V'}{V} V V ′ p q \frac{p}{q} q p p × q p \times q p × q
解説
電子加速とド・ブロイ波長の関係
電位差 V V V e V eV e V m m m p p p p 2 2 m \frac{p^2}{2m} 2 m p 2
e V = p 2 2 m ⟹ p = 2 m e V eV = \frac{p^2}{2m} \quad \Longrightarrow \quad p = \sqrt{2meV} e V = 2 m p 2 ⟹ p = 2 m e V したがって、このときの電子のド・ブロイ波長 λ \lambda λ
λ = h p = h 2 m e V \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} λ = p h = 2 m e V h この式から、ド・ブロイ波長 λ \lambda λ λ ∝ 1 V \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}} λ ∝ V 1
1回目のブラッグ反射（電位差 V V V
1回目の測定では、電位差 V V V λ \lambda λ n = 1 n=1 n = 1 sin θ = 1 8 \sin \theta = \frac{1}{8} sin θ = 8 1
2 d ⋅ 1 8 = 1 ⋅ λ ⟹ λ = d 4 2d \cdot \frac{1}{8} = 1 \cdot \lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{d}{4} 2 d ⋅ 8 1 = 1 ⋅ λ ⟹ λ = 4 d 2回目のブラッグ反射（電位差 V ′ V' V ′
2回目の測定では、電位差 V ′ V' V ′ λ ′ \lambda' λ ′ sin θ = 1 2 \sin \theta = \frac{1}{2} sin θ = 2 1 n = 1 n=1 n = 1
2 d ⋅ 1 2 = 1 ⋅ λ ′ ⟹ λ ′ = d 2d \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \lambda' \quad \Longrightarrow \quad \lambda' = d 2 d ⋅ 2 1 = 1 ⋅ λ ′ ⟹ λ ′ = d 波長の比と電位差の比の計算
2つの状態における波長の比 λ ′ λ \frac{\lambda'}{\lambda} λ λ ′
λ ′ λ = d d 4 = 4 \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{d}{\frac{d}{4}} = 4 λ λ ′ = 4 d d = 4 ここで、波長と電位差の関係式 λ = h 2 m e V \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} λ = 2 m e V h
λ ′ λ = h 2 m e V ′ h 2 m e V = V V ′ \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2meV'}}}{\frac{h}{\sqrt{2meV}}} = \sqrt{\frac{V}{V'}} λ λ ′ = 2 m e V h 2 m e V ′ h = V ′ V 両辺を2乗して整理します。
( λ ′ λ ) 2 = V V ′ ⟹ 4 2 = V V ′ ⟹ V V ′ = 16 \left(\frac{\lambda'}{\lambda}\right)^2 = \frac{V}{V'} \quad \Longrightarrow \quad 4^2 = \frac{V}{V'} \quad \Longrightarrow \quad \frac{V}{V'} = 16 ( λ λ ′ ) 2 = V ′ V ⟹ 4 2 = V ′ V ⟹ V ′ V = 16 求めたい値は V ′ V \frac{V'}{V} V V ′
V ′ V = 1 16 \frac{V'}{V} = \frac{1}{16} V V ′ = 16 1 この結果は、電子の質量 m m m e e e d d d
入力数の決定
得られた比は既約分数で p q = 1 16 \frac{p}{q} = \frac{1}{16} q p = 16 1 p = 1 p=1 p = 1 q = 16 q=16 q = 16 1 × 16 = 16 1 \times 16 = 16 1 × 16 = 16
入力すべき自然数は 16 です。