格子型ユニタリ観測量と変位推定の不確定性

問題文

一次元調和振動子の位置演算子を $\hat{x}$x^、運動量演算子を $\hat{p}$p^​ とし、正準交換関係は

$$[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$$[x^,p^​]=iℏ

である。無次元正準変数を

$$\hat{Q}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\hat{x},\qquad \hat{P}=\frac{\hat{p}}{\sqrt{\hbar m\omega}}$$Q^​=ℏmω​​x^,P^=ℏmω​p^​​

で定義する。したがって

$$[\hat{Q},\hat{P}]=i$$[Q^​,P^]=i

である。

消滅演算子を

$$\hat{a}=\frac{\hat{Q}+i\hat{P}}{\sqrt{2}}$$a^=2​Q^​+iP^​

で定義し、数演算子 $\hat{a}^\dagger\hat{a}$a^†a^ の固有状態を $|k\rangle$∣k⟩ とする。状態は

$$|\psi\rangle=\sqrt{1-\alpha}\,|0\rangle+e^{i\varphi}\sqrt{\alpha}\,|n\rangle$$∣ψ⟩=1−α​∣0⟩+eiφα​∣n⟩

で与えられる。

未知の微小な無次元変位 $(u,v)$(u,v) が

$$\hat{D}(u,v)=\exp(-iu\hat{P}+iv\hat{Q})$$D^(u,v)=exp(−iuP^+ivQ^​)

として作用する。$u$u と $v$v の局所推定について、純粋状態の量子フィッシャー情報行列を $F$F とする。

また、モジュラー観測量を定義するユニタリ演算子

$$\hat{S}_Q=\exp(i\lambda\hat{Q}),\qquad \hat{S}_P=\exp(-i\mu\hat{P})$$S^Q​=exp(iλQ^​),S^P​=exp(−iμP^)

を考える。ここで $\lambda\mu=2\pi\nu$λμ=2πν であり、$\nu$ν は正の整数である。この条件により $\hat{S}_Q$S^Q​ と $\hat{S}_P$S^P​ は可換である。

次の量を考える。

$$\mathcal{J}=\nu^2\det F$$J=ν2detF

制約

• $n=2$n=2
• $\alpha=\dfrac{2}{3}$α=32​
• $\cos\varphi=\dfrac{3}{5}$cosφ=53​
• $\sin\varphi=\dfrac{4}{5}$sinφ=54​
• $\nu=2$ν=2

入力形式

$\mathcal{J}$J を既約分数

$$\mathcal{J}=\frac{p}{q}$$J=qp​

で表したとき、自然数 $p+q$p+q を入力する。