恒星を焦点とする楕円軌道での面積速度と掃過時間

問題文

質量 $M$M の恒星のまわりを、質量 $m$m の彗星が万有引力だけを受けて運動している。恒星を原点 $O$O とし、彗星の位置ベクトルを $\boldsymbol{r}$r とする。彗星には、恒星からの万有引力以外の力は作用しない。彗星の軌道は閉じた楕円であり、恒星はその一方の焦点にある。

軌道面内で、恒星から見た近日点方向を $x$x 軸正方向とし、真近点角を $\theta$θ とする。時刻 $t=0$t=0 に彗星は近日点を通過する。近日点距離を $r_{\mathrm{p}}$rp​、遠日点距離を $r_{\mathrm{a}}$ra​ とする。

彗星が近日点通過後にはじめて、真近点角が $\theta_\ast$θ∗​ となる点 $P$P に達するまでの時間を $\Delta t$Δt、公転周期を $T$T とする。楕円の長半径を $a$a、離心率を $e$e とすると、軌道上の距離は

$$r(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$r(θ)=1+ecosθa(1−e2)​

で表される。

万有引力は中心力であるため、彗星の恒星まわりの角運動量は保存する。この角運動量保存から面積速度一定を導き、さらに軌道方程式を用いて、近日点から点 $P$P までの掃過面積と楕円全体の面積の比を求めることで、$\Delta t/T$Δt/T を求めよ。

制約

• $M=1.99\times 10^{30}\,\mathrm{kg}$M=1.99×1030kg
• $m=2.40\times 10^{13}\,\mathrm{kg}$m=2.40×1013kg
• $r_{\mathrm{p}}=1.00\,\mathrm{AU}$rp​=1.00AU
• $r_{\mathrm{a}}=3.00\,\mathrm{AU}$ra​=3.00AU
• $\theta_\ast=90.0^\circ$θ∗​=90.0∘

入力形式

$\Delta t/T$Δt/T を

$$\frac{A}{B}-\frac{C\sqrt{D}}{F\pi}$$BA​−FπCD​​

の形に表す。ただし、$A,B,C,D,F$A,B,C,D,F は正の整数、$A/B$A/B と $C/F$C/F はそれぞれ既約分数、$D>1$D>1 は平方因子をもたない自然数とする。このとき、$A,B,C,D,F$A,B,C,D,F をこの順に十進表記で横に並べてできる自然数を入力せよ。